После преобразования находим:

.

Таким образом, условия равновесия элементарного параллелепипеда выражаются системой уравнений:

. (2.11)

Уравнения (2.11) представляют собой дифференциальные уравнения Эйлера.

Для получения закона распределения давления во всем объеме покоящейся жидкости следует проинтегрировать систему уравнений (2.11).

Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.

Основное уравнение гидростатики

Из уравнений (2.11) следует, что давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси Z), оставаясь одинаковым во всех точках любой горизонтальной плоскости, так как изменения давления вдоль осей X и Y равны нулю.

В связи с тем, что в этой системе уравнений частные производные и равны нулю, частная производная может быть заменена на , и следовательно, .

Отсюда получаем:

. (2.12)

Разделив левую и правую части (2.12) на g и переменив знаки, представим (2.12) в виде:

.

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна, и следовательно,

или

.

После интегрирования получим:

. (2.13)

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей 1 и 2 уравнение (2.13) выражают в форме:

. (2.14)

Уравнения (2.13) и (2.14) являются основными уравнениями гидростатики. В уравнении гидростатики (2.14): Z₁ и Z₂ - высоты расположения двух точек внутри покоящейся однородной капельной жидкости над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчета (плоскостью сравнения), a P₁ и P₂ - гидростатические давления в этих точках.

Рассмотрим, например, две частицы жидкости, из которых одна расположена в точке 1 внутри объема жидкости (см. рисунок 2.3) на высоте Z от произвольно выбранной плоскости сравнения 0-0, а другая находится в точке 2 на поверхности жидкости (на высоте Z₀ от той же плоскости).

Пусть Р и Р₀ - давления в точках 1 и 2 соответственно. При этих

обозначениях согласно уравнению (2.14) получим:

(2.15)

или

. (2.16)

Член Z в уравнении гидростатики, представляющий собой высоту расположения данной точки под произвольно выбранной плоскостью сравнения, называется нивелирной высотой и выражается в единицах длины.

Величину называют статическим или пьезометрическим напором.

Следовательно, согласно основному уравнению гидростатики для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и статического напора есть величина постоянная.

Нивелирную высоту называют геометрическим напором, характеризующим удельную потенциальную энергию положения данной точки над выбранной плоскостью сравнения, а статический напор – удельной потенциальной энергией давления в этой точке.

Основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

Уравнение (2.15) можно записать в форме:

(2.17)

или . (2.18)

Уравнение (2.18) является выражением закона Паскаля, согласно которому давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

Рисунок 2.3 - К основному уравнению гидростатики