Подобие начальных и граничных условий

Для начальных и граничных условий должно соблюдаться геометрическое, временное и физическое подобие, как и для других сходственных точек натуры и модели.

Константы подобия K_l, K_, K_ и т.д., выражающие отношение различных одноимённых величин в натуре и в модели, постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но изменяются в зависимости от соотношения натуры и модели.

Важное свойство констант подобия: входящие в них одноименные величины могут взаимно заменяться. Поэтому отношение приращений этих величин можно заменять отношениями величин.

Например, справедливо следующее:

. (2.69)

Подобие потоков в натуре можно охарактеризовать также с помощью инвариантов подобия, выражая все подобные величины в относительных единицах, т.е. в виде отношений сходственных величин в пределах каждой системы. Из уравнения (2.64) следует

, (2.70)

где inv или idem - означает инвариантно или "одно и то же".

Величина i_e представляет собой инвариант подобия геометрических величин.

При выражении любой величины с помощью инвариантов подобия в качестве масштаба ее измерения может быть выбрано значение этой величины в любой точке системы.

Например, в выражении (2.70) за масштаб вместо длин труб L^| L^|| можно принять их диаметры и т.д.

Аналогично следует:

i_τ , i_w, i_ρ, i_μ.

Инварианты подобия не зависят от размеров натуры и модели. Это означает, что при переходе oт одной системы к другой, ей подобной, инварианты подобия не меняют своих значений.

Инварианты подобия двух однородных физических величин (параметров) называются параметрическими критериями, или симплексами.

Инварианты подобия могут быть выражены также отношениями разнородных величин, т.е. представлять собой безразмерные комплексы этих величин.

Например: . (2.71)

Инварианты подобия, выраженные комплексами величин, полученными преобразованиями дифференциальных уравнений, описывающих процесс, называются критериями подобия или обобщенными переменными.

Основные положения подобия обобщаются теоремами подобия.

Как получают критерии подобия? Проследим последовательность такой операции на примере подобного преобразования второго закона Ньютона.

1. Дифференциальное уравнение, описывающее данный класс явлений:

. (2.72)

Формулируется подобие условий однозначности для группы подобных явлений, т.е. задают константы подобия: K_f, K_m, K_W, K_..

2. Каждую величину, входящую в дифференциальное уравнение, умножают на соответствующую константу подобия и выносят константы как постоянные величины за знак дифференциала:

. (2.73)

Если в уравнение входят производные более высоких порядков, то для любой физической величины (U) можно записать:

. (2.74)

3. Исходные и преобразованные таким образом уравнения могут быть тождественны лишь при условии, что индикаторы подобия равны единице. В данном случае это условие имеет вид:

. (2.75)

4 Заменяют масштабные множители в индикаторе подобия отношениями соответствующих величин и находят критерии подобия, т.е.

или ; откуда . (2.76)

Этот подход возможен для преобразования любых дифференциальных уравнений.

Более простой способ преобразования состоит в следующем: делят одну часть уравнения на другую и отбрасывают знаки математических операторов. Полученный критерий можно рассматривать как частное от деления f на m(dW/d) после отбрасывания знаков дифференциала, т.е. учитывая, что dW/dW/.

Первая теорема подобия (была сформулирована Ньютоном):

Подобные системы характеризуются численно равными критериями подобия. Первая теорема указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых надо обобщать: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия. Решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия.

Если обозначить критерии подобия через ₁,₂,₃,…_n то решение дифференциального уравнения может быть представлено в общем виде:

f (₁,₂,₃,…_n) = 0. (2.77)

Такие уравнения называют уравнениями обобщенных переменных (обобщёнными) или критериальными уравнениями.

Критерии подобия, которые составлены из величин, входящих в условия однозначности, называются определяющими.

Критерии же, включающие такие величины, которые не являются необходимыми для однозначной характеристики данного процесса, а сами зависят от этих условий, называют определяемыми. Какой из критериев является определяемым, зависит от формулировки задачи. Например, в случае движения жидкости по трубе определяемым является P, т.е. если определяемым является некоторый критерий ₁ , то уравнение (2.77) удобнее представить в виде:

₁ = f (₂,₃,…_n). (2.78)

Вторая теорема отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, проведенных на моделях: их надо представлять в виде функциональной зависимости между критериями подобия.

Третья теорема подобия или теорема М.В.Кирпичева и А.А.Гухмана. Явления подобны, если их определяющие критерии численно равны.

Она формулирует необходимые и достаточные условия подобия явлений: подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности. Подобию же условий однозначности при идентичности дифференциальных уравнений, описывающих процессы, отвечает равенство определяющих критериев подобия.

Следствием равенства определяющих критериев согласно (2.78) является равенство определяемых критериев для модели и натуры. Поэтому зависимость типа (2.78), полученная обобщением результатов опытов на модельной установке, будет справедлива (в тех же пределах изменения определяющих критериев) для всех подобных процессов, в том числе для натуры.

Исследование процессов методом теории подобия должно состоять из следующих этапов:

1. Составить дифференциальное уравнение, и ,установив условия однозначности, провести преобразование этого уравнения и найти критерии подобия.

2. Путем опытов на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия, причем полученное обобщенное расчетное уравнение справедливо для всех подобных явлений в исследованных пределах определяющих критериев подобия.