Некоторые характеристики турбулентного потока
В промышленной практике наиболее распространено турбулентное движение жидкостей (рисунок 2.10).
При турбулентном движении из-за хаотического перемещения частиц происходит выравнивание скоростей в основной массе потока.
Опыт показывает, что средняя скорость при турбулентном движении
определяется соотношением
.
При
,
а при
величина
.
Истинная картина значительно сложнее. На рисунке 2.10 изображены истинныеWx и осредненные Wx локальные скорости жидкости при турбулентном движении за время τ.
Условно различают центральную зону или основную массу жидкости, называемую ядром потока, в которой движение является развитым турбулентным, и гидродинамический пограничный слой δ вблизи стенки, где происходит переход турбулентного движения в ламинарное.
Рисунок 2.10 - К распределению скорости при турбулентном движении
Уравнение неразрывности (сплошности) потока
Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие неразрывности движения.
Выделим внутри движущегося
потока элементарный параллелепипед
(рисунок 2.11) объемом
,
ребра которого
ориентированы по осям координат.
Через грань
площадью
пройдет поток массой
со
скоростью
.
Исходя из уравнения
,
можно записать, что масса жидкости за
промежуток времени
будет составлять
.
Рисунок 2.11 - К выводу дифференциального уравнения неразрывности потока
На противоположной (правой)
грани параллелепипеда скорость и
плотность жидкости отличаются от
соответствующих величин левой грани и
будут равны
и
.
Тогда через правую грань
параллелепипеда за то же время
выйдет масса жидкости:
.
Приращение жидкости в параллелепипеде по оси X определяется как
;
по оси Y:
;
по оси Z:
.
Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат, т.е.
Вместе с тем изменение массы жидкости в полностью заполненном объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому справедливо соотношение:
.
Приравнивая выражения
,
сокращая на (-
)
и перенося
в левую часть уравнения, получаем:
.
(2.46)
Уравнение (2.46) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости.
В установившемся потоке
плотность не изменяется во времени,
т.е.
и уравнение (2.46) примет вид:
.
(2.47)
Для капельных жидкостей,
которые практически несжимаемы, а также
для газов в условиях изотермического
потока при скоростях, значительно
меньших скорости звука,
,
и следовательно,
(2.48)
Сумма изменений скорости
вдоль осей координат в левой части
уравнения (2.48) называется дивергенцией
вектора скорости и обозначается
.
Дивергенция - это число, характеризующее величину изменения потока векторного поля в данной точке. Поэтому данное уравнение можно представить в виде:
.
Для того, чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения, необходимо проинтегрировать уравнение (2.47)
Если бы площадь сечения не
изменилась, то для установившегося
однонаправленного движения (в
направлении оси х)
интегрирование уравнения (2.47) дало бы
зависимость
.
Если же площадь сечения трубопровода переменная, то интегрируя также по площади (см. рисунок 2.12), получаем:
.
(2.49)
Для трех различных сечений /1-1, 2-2, 3-3/ трубопровода, изображенного на рисунке 2.12, имеем
(2.50)
или
,
где
- массовый расход жидкости, кг/с.
Выражения (2.49) или (2.50) представляют собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода.
Согласно уравнению постоянства расхода при установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одно и то же ее количество.
Для капельных жидкостей
и уравнение (2.49) принимает вид
.
(2.51)
Рисунок 2.12 – К интерпретации уравнения постоянства расхода
Следовательно,
(2.52)
или
,
м3/c.
Из уравнения (2.52) следует, что скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.
Уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.