В частном случае установившегося процесса, когда имеем:

. (2.33)

Уравнения (2.32) и (2.33) выражают субстанциональную производную данного параметра. Субстанциональная производная характеризует изменение какого-либо параметра или свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве.

Выражения субстанциональной производной применительно к отдельным составляющим скорости, например , характеризуют составляющие ускорения вдоль соответствующих осей координат, которые будут использованы при выводе дифференциального уравнения движения.

Режимы движения жидкости. Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке

Движение, при котором все частицы движутся по параллельным траекториям, называется ламинарным.

Неупорядоченное движение, при котором отдельные частицы жидкости движутся по запутанным, хаотическим траекториям в то время, когда масса жидкости в целом перемещается в одном направлении, называется турбулентным.

Опыт показывает, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит тем легче, чем больше массовая скорость  и эквивалентный диаметр канала d_э, и чем меньше вязкость жидкости . Рейнольдс (1883г.) установил, что указанные величины можно объединить в безразмерный комплекс d_э/, численное значение которого позволяет судить о режиме движения жидкости. Этот комплекс носит название критерия Рейнольдса (Re):

. (2.34)

Переход от ламинарного к турбулентному движению характеризуется критическим значением Re_кр. Так, при движении жидкости по прямым гладким трубам Re_кр 2300, т.е. при Re_кр<2300 течение называют областью устойчивого ламинарного режима течения. При Re_кр>2300 чаще всего наблюдается турбулентный характер движения.

Указанное значение Re_кр=2300 является условным, так как оно относится лишь к стабилизированному изотермическому потоку в прямых трубах с очень малой шероховатостью стенок. Наличие различных возмущений (шероховатость, изменение скорости и т.п.) может существенно снизить величину Re_кр.

В случае ламинарного движения жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых соосных с трубкой слоев. Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по трубе радиусом R (рисунок 2.9) , цилиндрический слой длиной l и радиусом r.

Движение слоя происходит под действием разности сил давления P₁ и Р₂ с обоих торцов цилиндра

Р₁ - Р₂ = (p₁ - p₂)r ², (2.35)

где - гидростатическое давление в сечениях 1-1 и 2-2.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения, которая определяется выражением

, (2.36)

где F = 2r - наружная поверхность выделенного цилиндра;

μ – вязкость жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением радиуса r (при r = R величина ω_r = 0). Тогда

.

Откуда, после сокращения и разделения переменных, получим:

(2.37)

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (2.37) по всему объему жидкости в трубе, учитывая, что величина радиуса в левой части уравнения изменяется от r до R, а величина скорости в правой части – от  = _r до  = 0 (у стенки, где r = R):

, (2.38)

тогда (2.39)

или . (2.40)

Рисунок 2.9 - К определению распределения скоростей и расхода жидкости при ламинарном движении

Скорость имеет максимальное значение по оси трубы, где r = 0, т.е.

. (2.41)

Сопоставляя выражения (2.40) и (2.41) находим, что

. (2.42)

Уравнение (2.42) представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скорости в сечении трубопровода при ламинарном движении. Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение с внутренним радиусом r и внешним (r+dr), площадь которого равна dS=2rdr. Объемный расход жидкости через это сечение составит:

или с учетом уравнения (2.40):

(2.43)

Интегрируя уравнение (2.43), получаем общий расход жидкости через трубу:

.

Следовательно,

. (2.44)

Подставляя вместо R диаметр трубы d = 2R и обозначая (P₁ - P )= = P, получаем:

. (2.45)

Уравнение (2.45) называется уравнением Пуазейля.

Соотношение между средней скоростью  и максимальной скоростью _max можно получить, сопоставив значения

и ,

откуда получим

,

а это значит, что  = /2 -из уравнения (2.41).

Тогда из уравнения (2.42) получаем

.