Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Как было показано при выводе уравнения равновесия Эйлера, проекции на оси координат тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют:

; ; .

Согласно основному принципу динамики сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда .

Если жидкость движется со скоростью , то ее ускорение равно , а проекции ускорения на оси координат , и , где W_x, W_y и W_z – составляющие скорости вдоль осей x, y, z.

Эти производные по времени не означают изменений во времени составляющих скорости в какой-либо фиксированной точке пространства. Такие изменения , и равны нулю в рассматриваемом установившемся потоке.

Производные же , и отвечают изменению во времени значений W_x, W_y и W_z при перемещении частиц жидкости из одной точки пространства в другую (наблюдатель в данном случае связан с движущейся частицей потока).

В соответствии с основным принципом динамики можно записать:

,

,

.

После сокращения получим:

. (2.53)

Но известно, что субстанциональные производные соответствующих составляющих скорости равны:

. (2.54)

Система уравнений (2.53) с учетом выражений (2.54) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера установившегося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому уравнение (2.54) преобразуется в уравнение движения жидкости Эйлера неустановившегося потока:

. (2.54 а)

Система уравнений (2.54 а) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.

Дифференциальные уравнения движения Навье – Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости элементарный параллелепипед (см. рисунок 2.13) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений .

В этих условиях касательные напряжения возникают лишь на поверхностях верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем площадь граней равна

dF = dxdy.

Если касательное напряжение на нижней грани равно , то на верхней грани оно составляет .

Рисунок 2.13 – К выводу уравнений Навье – Стокса

Производная выражает изменение касательного напряжения вдоль оси Z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, а представляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра параллелепипеда.

Проекция равнодействующей сил трения на ось X определяется как

.

Подставив в это выражение значение касательного напряжения ( ), из уравнения (2.9) получим:

.

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости будет изменяться не только в направлении Z , но и в направлении всех трех осей координат.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось Х примет вид:

.

Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа:

.

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось X может быть представлена как . Соответственно, проекции равнодействующей сил трения на ось Y будут ; на ось Z – .

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости, составляют:

на ось X ;

на ось Y ;

на ось Z .

Используя уравнение движения Эйлера, после сокращения на dxdydz, получаем ускорение на оси координат:

, (2.55)

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков уравнениями (2.54) и (2.54а).

Левые части уравнения (2.55) выражают произведение массы единицы объема  на проекцию ее ускорения, т.е. представляют собой проекции равнодействующей сил инерции, возникающих в движущейся жидкости. В правых частях тех же уравнений произведение отражает влияние сил тяжести, частные производные , , – влияние изменения гидростатического давления, а произведение вязкости на сумму вторых производных проекций скоростей – влияние сил трения на движущуюся жидкость.

Практическое применение уравнений Навье – Стокса возможно либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании этих уравнений методами теории подобия, на которых остановимся ниже.

Уравнение (2.55) представляет собой уравнение Навье – Стокса, описывающее движение вязкой капельной жидкости.