Гидравлическое подобие

Перепишем уравнение Навье – Стокса в случае капельной жидкости для оси Z

,

где - оператор Лапласа.

В развёрнутом виде можно записать:

.

Сумма вторых производных по осям координат называется оператором Лапласа. Критерии подобия можно получить путем деления левой части дифференциального уравнения на правую (или наоборот) и последующего отбрасывания знаков математических операторов.

Для установившегося потока

Заменяем в левой части уравнения, характеризующего силу инерции,

дифференциалы конечными величинами

,

где l - определяющий линейный размер.

В правой части уравнения член, отражающий действие сил тяжести, равен g. Производная характеризует действие силы давления. Заменим .

Последнее слагаемое правой части, отражающее действие силы трения, имеет вид:

.

Примем за масштаб преобразования силу инерции и поделим члены правой части уравнения на масштаб, и таким образом найдем выражение, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции. В результате получим безразмерные соотношения величин – критерии подобия.

Выражение, характеризующее отношений силы тяжести к силе инерции, можно представить как

- критерий Фруда (обозначается F_r).

Чтобы избежать величин, меньших единицы, предпочитают пользоваться обратным выражением:

. (2.79)

Аналогично найдём соотношение между силами давления и инерции:

- критерии Эйлера (обозначается Е_u).

Обычно вместо абсолютного давления вводят разность давления между точками жидкости:

. (2.80)

Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости.

Аналогично найдём выражение, отражающее отношение силы трения к силе инерции. Для того, чтобы избежать чисел, меньших единицы, берем обратное отношение:

. (2.81)

Критерий Re характеризует отношение инерционных сил к силам трения. Величина l в критериях характеризует определяющий линейный размер.

При неустановившемся движении:

, тогда .

Отношение между силой инерции и этой величиной составляет

, (2.82)

где - учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках и называется критерием гомохронности.

Во всех сходственных точках движущихся подобных жидкостей

, , , .

Согласно второй теореме подобия решение уравнений Навье – Стокса можно представить в виде:

 = (H₀,Fr,E_u,Re) = 0.

В ряде случаев указанная зависимость может быть дополнена симплексами геометрического подобия, тогда:

 = (H₀,Fr,E_u,Re,l/d) = 0. (2.83)

Как правило, кроме критерия E_u, все другие критерии являются определяющими, так как они составлены из величин, выражающих условие однозначности.

В критерий E_u входит P, значение которого при движении по трубе полностью обусловливается (l/d_э – формой трубы); , - физические свойства распределения скоростей у входа в трубу и у ее стенок (начальные и граничные условия). Поэтому согласно третьей теореме подобия необходимо и достаточно соблюдение равенства значений H₀, Fr, Re и l/d.

Следствием выполнения этих условий будет также равенство определяемого критерия E_u в сходственных точках подобия потоков. Поэтому уравнение (2.83) представляют как

E_u=f(H₀,Fr,Re,l/d_э).

Последнюю функцию наиболее часто аппроксимируют степенной зависимостью вида

(2.84)

или после подстановки соответствующих безразмерных комплексов:

.

Путем обработки опытных данных, полученных на моделях, находят числовые коэффициенты А и показатели степени m,n,p,q при соответствующих критериях.

Для установившегося движения:

E_u = f (Fr,Re, l/d_э).

В общей форме можно записать

E_u = f (Fr,Re,Г₁,Г₂,Г₃),

где Г₁,Г₂,Г₃ - симплексы геометрического подобия.