Некоторые практические приложения уравнения Бернулли

1. Принципы измерения скорости и расхода жидкости.

Для определения скоростей и расходов жидкостей в промышленной практике применяются пьезометрические дроссельные приборы и пневмометрические трубки. С помощью пневмометрических трубок можно измерять скорость жидкости в разных сечениях (см. рисунок 2.14).

Разность уровней в пьезометрических трубках дает .

Передвигая трубку по сечению, определяем распределение скоростей по сечению. Более широкое применение нашли дроссельные приборы. Принцип их работы основан на измерении перепада давления при изменении поперечного сечения трубопровода. В качестве дроссельных приборов (см. рисунок 2.15) используют мерные диафрагмы, сопла и трубы Вентури. Мерная диафрагма представляет собой тонкий диск с отверстием круглого сечения, центр которого расположен на оси трубы. В диафрагмах .

Считая трубопровод горизонтальным, запишем для двух сечений, перепад давлений между которыми измеряется дифференциальным манометром, уравнение Бернулли

, откуда ,

где h - перепад (разность) давлений, измеряемый дифференциальным манометром столба рабочей жидкости;

W₁ - скорость в сечении трубы.

Рисунок 2.15 - Иллюстрация измерения расхода жидкости с помощью дроссельной шайбы

Выразим через скорость в узком сечении струи за диафрагмой, в которой измеряется давление Р₂, пользуясь уравнением неразрывности:

.

Подставим выражение W₁ в выражение разности скоростных напоров:

или ,

откуда .

Объемный расход жидкости V_сеч в сечении S₀ отверстия диафрагмы равен

, (2.60)

где α - поправочный коэффициент, учитывающий, что скорость w₀ в сечении S₀ меньше скорости w₂ из-за отмеченных ранее сужений струи за диафрагмой S₀ > S₂.

Истечение жидкостей

Условие 1: определить расход жидкости при ее истечении через круглое отверстие в тонком днище открытого сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень жидкости (рисунок 2.16).

Рисунок 2.16 – Истечение жидкости из сосуда при постоянном уровне

Для идеальной жидкости запишем уравнение Бернулли:

. (2.61)

Для открытого сосуда P₁ = P₂ при постоянном уровне жидкости . Пренебрегая малым расстоянием от плоскости отверстия в днище сосуда до плоскости самого узкого сечения струи, можем принять Z₁ - Z₂ = H, и следовательно, , .

Для реальной жидкости справедливо выражение

,

где  - поправочный коэффициент (<1), называемый коэффициентом скорости, который учитывает потери напора при истечении через отверстие.

Вследствие того, что площадь поперечного сечения струи S₀ в отверстии больше площади её самого узкого сечения S_2, скорость W₀ жидкости в отверстии должна быть меньше, чем W₂, тогда

,

где - коэффициент сжатия струи;

- определяется по справочнику.

Объемный расход равен:

.

Это уравнение применимо также для отверстий в боковых стенках сосуда.

Для жидкостей, по вязкости мало отличающихся от воды, можно принимать в первом приближении  = 0,62 (через насадки  = 0,82).

Условие 2: определить время опорожнения сосуда при истечении жидкости через отверстие в тонком днище, т.е. при переменном уровне жидкости в сосуде (рисунок 2.17)

,

где - площадь поперечного сечения отверстия в днище сосуда.

За этот промежуток времени уровень жидкости в сосуде понизится на величину и при постоянной площади поперечного сечения S сосуда убыль жидкости в нем составит:

.

Рисунок 2.17 – Истечение жидкости из сосуда при переменном уровне жидкости

Знак минус в правой части уравнения указывает на изменение высоты жидкости в сосуде. Согласно уравнению неразрывности потока приравняем эти объемы:

,

откуда

, ,

. (2.62)

В случае полного опорожнения H₂ = 0 получаем:

. (2.63)

При сложных сосудах необходимо учитывать, что S=f(H).