4.1. Температурное поле. Температурный градиент. Теплопроводность

Совокупность значений температур в данный момент времени для всех точек рассматриваемой среды называется температурным полем.

Геометрическое место точек в пространстве с одинаковыми температурами представляет собой изотермическую поверхность. В наиболее общем случае температура в данной точке t зависит от координат точки ( х, у, z ) и изменяется во времени , т.е. температурное поле выражается функцией вида:

t = f ( х, у, z,  ).

В частном случае для стационарного теплового процесса t = f ( х, у, z ). Изотермические поверхности никогда не пересекаются. Пусть разность температур между двумя изотермическими поверхностями составляет ∆t

(рисунок 4.1), Кратчайшим расстоянием между этими поверхностями является расстояние по нормали ∆n.

Рисунок 4. 1 - К определению температурного градиента в законе Фурье

Тогда

(4.1)

Производная температуры по нормали к изотермической поверхности, называется температурным градиентом. Этот градиент является вектором, направление которого соответствует температуре поверхности.

Поток тепла возникает при условии grad(t)≠0. Количество теплоты пропорционально температурному градиенту, т.е.

q~ (4.2)

Закон Фурье

Основным законом передачи тепла теплопроводностью является закон Фурье, согласно которому количество тепла, передаваемое посредством

теплопроводности через элемент поверхности dF , равно

[Дж] (4.3)

или через единицу поверхности в единицу времени

(4.4)

где q - плотность теплового потока, [Дж/м² -с];

λ - коэффициент теплопроводности, равный

Примерные значения теплопроводности:

капельная жидкость: 0,1...0,7 [Вт/м град];

газы: 0,006...0,165 [Вт/м град];

теплоизоляционные материалы: 0,03...0,1 [Вт/м град];

воздух: 0,023 [Вт/м град];

чистая медь: 394...400 [Вт/м град];

сталь 50...60 [Вт/м град].

Если λ высокие, то по закону Фурье можно передать больше тепловой энергии.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Выделим в однородном и изотропном теле параллелепипед с объемом dV с ребрами dx,dy,dz (рисунок 4.2).

Физические свойства тела: теплоемкость(с), плотность (р), теплопроводность (λ одинаковы во всех точках).

Температура на левой грани равна t, на правой грани с учетом изменения (с учетом градиента)

Количество тепла, входящее в параллелепипед через его грани за промежуток времени dτ, в соответствии с законм Фурье равно:

по оси х через грань dydz

по оси у через грань dxdz

по оси z через грань dxdy

Рисунок 4.2 - К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Количество тепла, выходящее из параллелепипеда через противоположные грани за тот же промежуток времени, определяется следующим образом:

по оси х:

по оси у:

по оси z:

Учитывая, что часть теплоты расходуется на повышение температуры в объеме параллелепипеда, ее можно выразить через разность:

по оси х:

по оси у

по оси z

Просуммируем количество теплоты во всем объеме за промежуток времени dτ. Тогда получим:

По закону сохранения энергии количество теплоты, необходимое для уменьшения энтальпии равно:

где - представляет собой изменение температуры параллелепипеда

за промежуток времени dτ. Приравняем полученные выражения и, разделив переменные, получим:

Обозначим тогда

(4.5)

Коэффициент а в уравнении (4.5) носит название температуро-проводности и характеризует инерционные свойства тела. Коэффициент а

имеет размерность

При установившемся процессе , тогда а²t = 0,

но а ≠ 0, следовательно

(4.6)

Уравнение (4.6) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.