§ II.3.3. Зоны Бриллюэна

Волновой вектор неоднозначно определяется волновой функцией, т.е. многим значениям волнового вектора может соответствовать одно и то же значение волновой функции. Поскольку каждой волновой функции соответствует определенная энергия электрона, то волновой вектор неоднозначно определяется энергией электрона. Покажем это для одномерного случая. Помножив и разделив одномерную волновую функцию

на величину

получим

Введем следующие обозначения:

Тогда выражение (6.41) запишется так:

Поскольку функция

,

как и функция и(х), является периодической с периодом а₁, то их произведение u'(х) является тоже периодической функцией с тем же периодом. Волновая функция, определяемая формулой (6.42), также является решением уравнения Шредингера, причем для того же значения энергии Е, которое определяется волновой функцией (6.40). Следовательно, для зависимости Е(к) значения волнового, вектора к_х и к_х’ полностью эквивалентны. Таким образом, энергия электрона является периодической функцией волнового вектора с периодом 2π/a₁. Поэтомудля нахождения всей совокупности значений энергии Е(к_х) достаточно рассмотреть значения волнового вектора в пределах области

Совокупность значений к_х, лежащих в пределах этой области, называют первой зоной Бриллюэна. Соответственно совокупность значений волнового вектора в области от -2π/a₁ до -π/a₁ и от π/a₁ до 2π/a₁ называется второй зоной Бриллюэна, и т.д. Поскольку функций Е(к) является. периодической, то в каждой зоне Бриллюэна набор разрешенных значений энергии одинаков и все зоны Бриллюэна адекватны. Для простоты рассуждений обычно используют первую зону, которую называют приведенной зоной Бриллюэна, или просто зоной Бриллюэна [16].

Прежде чем рассмотреть зоны Бриялюэна в трехмерном кристалле, введем понятие об обратной решетке. Всякой пространственной решетке может быть противопоставлена обратная решетка. Обратная решетка обладает теми же геометрическими свойствами, что и прямая. В основе обратной решетки лежит элементарная ячейка, образуемая тремя независимыми базисными векторами: b₁, b₂, b₃. Параллельным nepeносом элементарной ячейки (трансляцией) можно получить всю обратную решетку. Все узлы обратной решетки могут быть описаны вектором

где l₁, l₂, l₃ — целые числа.

Базисные векторы обратной решетки (или постоянные обратной решетки) связаны с постоянными прямой решетки следующими соотношениями в виде векторных произведений:

Из приведенных выражений видно, например, что вектор b₁ перпендикулярен как a₂, так и a₃. Численные значения базисных векторов обратной решетки равны:

Каждому виду элементарной ячейки в прямой решетке соответствует определенный .вид элементарной ячейки в обратной решетке. Так, простой кубической ячейке соответствует также простая кубическая ячейка обратной, решетки с ребрами 2π/а (рис. 6.4). Гранецентрированная кубическая решетка и решетка типа алмаза имеют обратную решетку, изображенную на рис. 6.5.

Зона Бриллюэна трёхмерного кристалла совпадает с его обратной решеткой. Покажем это на примере простой прямоугольной решетки, и решетки типа алмаза. В кристалле с простой прямоугольной решеткой энергия электрона является периодической функцией к с периодами

по соответствующим осям решетки. Если на осях координат отложить отрезки

то получим зону Бриллюэна, совпадающую с обратной решеткой. Следовательно, пространство обратной решетки представляет собой пространство волнового вектора. Для простой кубической решетки обратная решетка…………….

Таким образом, полное число состояний в пространственной зоне Бриллюэна равно числу элементарных ячеек в кристаллической решетке:

N = N₁ N₂ N₃. (6.53)

Следует заметить, что два соседних значения волнового вектора к_x отлетаются друг от друга на крайне малую величину 2π/L₁.

Рассмотренные представления о периодическом характере зависимости энергии от волнового вектора позволяют полученную в предыдущем параграфе зависимость Е(к) привести к первой зоне Бриллюэна, как это показано на рис: 6.3 тонкими линиями.

Аналогичным образом может быть построена зависимость Е(к) для других направлений к-пространства. Например, на рис. 6.6,а изображена зависимость Е(к), приведённая к первой зоне Бриллюэна, для направлений к_х, к_y, k_z пространства волнового вектора. При этом возможны случаи, когда две энергетические зоны, построенные для различных направлений, перекрываются.

На рис. 6.6,б показан случай, когда наблюдается перекрытие нижней зоны, построенной в направлении к_z, верхней зоной, построенной в направлении к_х. Следует иметь в виду, что если постоянные решетки а_х, а_у, а_г одинаковы, то зона Бриллюэна на рис. 6.6 будет иметь одинаковую ширину для всех направлений.

В некоторых случаях ограничиваются упрощенным видом энергетических зон, для чего энергетическую зону представляют в виде набора энергетических уровней, принадлежащих всему объему кристалла. Построение таких энергетических зон представлено на рис. 6.7 для случая, когда зоны не перекрываются (а), и для случая, когда зоны перекрываются (б).

Число энергетических уровней в каждой зоне, очевидно, равно числу разрешенных значений волнового вектора.

При построении энергетических уровней необходимо иметь в виду, что в качестве исходных зон следует выбирать зоны Бриллюэна в тех направлениях, в которых имеются максимальные и минимальные значения энергии. Например, для кристалла с кубической решеткой, зоны которого приведены на рис. 6.7, такими направлениями являются [110] и [100] в k-пространстве.

Энергетические зоны в кристаллах образуются за счет валентных; а не внутренних электронов, поскольку последние сильно связаны с атомами решетки и поэтому в большинстве случаев создают лишь дискретные уровни.

Нижняя энергетическая зона, создаваемая валентными электронами, получила название валентной зоны. Следующая за ней зона называется зоной проводимости.

В случае полупроводников и диэлектриков эти зоны отделены друг от друга энергетической щелью (запрещенной зоной), в которой не могут находиться электроны.

У большинства металлов запрещенная зона отсутствует, поскольку зона проводимости перекрывается с валентной зоной.

В большинстве практических случаев электрофизические свойства твердых тел определяются структурой только двух зон: проводимости и валентной. Следующие энергетические зоны, лежащие выше зоны проводимости, равно как и ниже валентной зоны, влияния на свойства твердых тел практически не оказывают, так как в этих зонах в реальных условиях не бывает свободных носителей заряда. Поэтому в дальнейшем будут изучаться лишь валентная зона и зона проводимости.