§ II.2.2. Математическая теория диффузионных процессов

Основой математической теории диффузии являются дифференциальные уравнения Фика, описывающие процессы диффузионного переноса вещества. Рассмотрим эти уравнения применительно к одномерному случаю диффузии в изотропной среде, предполагая, что коэффициент диффузии не зависит от концентрации примеси. Первое уравнение Фика описывает скорость проникновения диффундирующего вещества через единичную площадь поверхности и имеет вид

(5.9)

где J — поток диффундирующего вещества, т.е. количество вещества, проходящего за единицу времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной направлению перемещения вещества; N — концентрация атомов примеси, являющаяся функцией координаты х и времени t. Второе уравнение Фика характеризует процесс накопления диффундирующей примеси в различных точках среды:

(5.10)

В большинстве случаев при создании: микроэлектронных структур встречаются задачи, в которых по заранее известному коэффициенту диффузии необходимо определить некоторые диффузионные характеристики: распределение концентрации примеси, толщину диффузионного слоя, поток диффузанта через какую-либо поверхность, количество введенной примеси и т.п. Ниже приводятся решения диффузионного уравнения для ряда конкретных случаев, на основании которых можно определить перечисленные диффузионные характеристики.

Общее решение уравнения (5.10) для неограниченного тела с заданным в общем виде начальным распределением концентрации примеси

N(x,0) = f(x), (5.11)

найденное методом разделения переменных, имеет вид

(5.12)

где ξ — текущая координата интегрирования.

Весьма часто при расчете распределения концентрации примеси необходимо решать задачу диффузии в полубесконечное тело. Для этого случая формула (5.12) может быть приведена к виду

(5.13)

причем знак плюс относится к случаю, когда граница полубесконечного тела является непроницаемой для диффузанта (отражающая граница), а знак минус — к случаю, когда на границе полубесконечного тела в любой момент времени концентрация равна нулю (связывающая граница).

Полученные формулы позволяют находить распределение примеси при любых начальных условиях. Решение конкретных задач сводится при этом к подстановке в уравнение (5.12) или (5.13) соответствующих начальных условий и сравнительно простым, но громоздким преобразованиям. Опуская громоздкие решения, рассмотрим некоторые частные случаи, имеющие практическое значение для исследования процессов диффузии в полупроводниках.

Диффузия из полубесконечного пространства.

Пусть начальное распределение концентрации примеси в неограниченном теле задано таким образом, что

N(x,0) =N₀ для x<0; (5.14)

N(x,0) =0 для х>0. (5.15)

Тогда, разбивая интеграл (5.12) на два интеграла с пределами от — ∞ до нуля и от нуля до +∞ и подставляя соответственно f(ξ) = N₀ и f(ξ) = 0, после несложных преобразований получим

(5.16)

где erf z означает интеграл функции ошибок Гаусса:

(5.17)

Иногда формулу (5.16) записывают в виде

(5.18)

где erfc z представляет дополнительную функцию интеграла ошибок, равную

erfc z = 1 - erf z. (5.19)

Функции erf z и erfc z табулированы. Численные значения их приведены в приложении.

На рис. 5.1 приведены графики функции (5.18) для нескольких значений Dt. Как видно из рисунка, для всех значений Dt > 0 концентрация примеси в плоскости раздела х > 0 постоянна и составляет N₀/2. Рассмотренный случай диффузии встречается в практике, например, при исследовании перераспределения примеси между эпитаксиально выращенным слоем и монокристаллической подложкой одного и того же полупроводника.

Диффузия из полуограниченного тела.

Если примесные атомы в начальный момент времени равномерно распределены по всему объему полуограниченного тела, а в другом полупространстве примесь отсутствует, то атомы примеси будут диффундировать из полуограниченного тела во внешнее полупространство при условии, что граница раздела не препятствует диффузии. Подобного рода задачи встречаются при исследовании процесса испарения примеси из предварительно насыщенного кристалла. Таким образом, начальным условием задачи является N(х,0) = N₀, а граничным условием будем считать равенство нулю концентрации на поверхности в любой момент времени t>0, т.е. N(0,t) == 0. Это граничное условие означает, что каждый атом примеси, оказавшийся на границе раздела полупространств, с весьма большой скоростью уносится во внешнее полупространство и, таким образом уже не влияет на процесс диффузии других атомов. Границы, обладающие указанными свойствами, называются связывающими.

Решение задачи для этого случая имеет вид

(5.20)

Полученное распределение представлено графически на рис. 5.2. Описанный процесс называется обратной диффузией. Благодаря обратной диффузии удается получить приповерхностные слои полупроводника с повышенным удельным сопротивлением. Если же полупроводник легирован двумя примесями, создающими противоположные типы проводимости, причем примесь, обладающая более высоким коэффициентом диффузии, содержится в большей концентрации, то способ обратной диффузии можно использовать для создания электронно-дырочного перехода вблизи поверхности полупроводника.

Диффузия из постоянного источника в полуограниченное тело.

Важное практическое значение имеет случай, когда на границе полубесконечного кристалла поддерживается постоянная концентрация диффундирующей примеси N₀. Такой процесс диффузии нашел широкое распространение при изготовлении диффузионных p-n -переходов. Граничные условия в этом случае имеют вид N (0,t) = N₀. Начальная концентрация во всем полуограниченном теле равна нулю.

Решение задачи для этого случая описывается дополнительной функцией ошибок:

(5.21)

Графики полученного решения для нескольких значений Dt приведены на рис. 5.3.

Во многих практических случаях важно знать количество диффузанта, проникшего в тело за время проведения диффузии. Эта величина может быть легко определена по формуле

(5.22)

где J(0,t) – поток диффузанта в объем тела через плоскость x = 0, равный

(5.23)

Подставляя (5.21) в (5.23), получим

(5.24)

Интегрируя полученное выражение по времени, найдем

(5.25)

Диффузия из слоя конечной толщины в полуограниченное тело.

Предположим, что в слое толщиной h, примыкающей к границе полуограниченного тела, имеется равномерно распределенная примесь с концентрацией N₀, а во всей остальной части тела при х > h концентрация примеси равна нулю. Будем считать, что поток примеси через границу х = 0 отсутствует. Такие границы принято называть отражающими. Примером отражающей границы может служить поверхность кристалла кремния, покрытого слоем двуокиси кремния. Поскольку коэффициент диффузии большинства диффузантов в двуокиси кремния на несколько порядков меньше, чем в кристалле кремния, то проникновением примеси в слой двуокиси кремния практически можно пренебречь.

Распределение примеси в любой момент времени для этого случая выражается формулой

(5.26)

Графики этого распределения приведены на рис. 5.4. В отличие от предыдущих случаев в данном случае диффузия ведется из ограниченного источника диффузанта. Количество диффузанта, равное Q = N₀h, в процессе диффузии остается неизменным. Происходит, лишь перераспределение этого диффузанта по объему тела.

Диффузия из бесконечного тонкого слоя в полуограниченное тело.

Если в предыдущем случае устремить толщину слоя h к нулю, то получим распределение примеси при диффузии из бесконечно тонкого слоя в полуограниченное тело с отражающей границей. Если полагать, что с устремлением h к нулю количество диффузанта Q, в слое остается неизменным (за счет соответствующего роста N₀), то распределение примеси запишется так:

(5.27)

Полученная функция известна под названием «распределение Гаусса». На рис. 5.5 даны кривые этого распределения для нескольких значений Dt.

Последние два случая диффузии в сочетании с диффузией из постоянного источника в полуограниченное тело нашли широкое практическое применение при формировании диффузионных р-n-переходов методом двухступенчатой диффузии. На первой стадии проводится предварительная диффузия примеси из постоянного источника (загонка) в течение небольшого промежутка времени. В результате на поверхности полупроводника образуется тонкий диффузионный слой с очень высокой поверхностной концентрацией. Распределение концентрации примеси в этом слое описывается уравнением (5.21), а количество введенного диффузанта дается выражением (5.25). Полученный слой при-ближенно может рассматриваться как достаточно тонкий слой конечной толщины с концентрацией N₀ либо как бесконечно тонкий слой, содержащий Q атомов примеси. Вторая стадия диффузии (разгонка) производится при окисленной поверхности полупроводника, что позволяет считать, что процесс диффузии идет в полуограниченном теле с отражающей границей из ограниченного источника Q. Способ двухступенчатой диффузии является весьма удобным для получения диффузионных слоев с точно регулируемыми параметрами.

Как уже указывалось, уравнение диффузии (5,10) и, следовательно, приведенные выше частные решения являются справедливыми лишь при условии, что коэффициент диффузии, не зависит от концентрации диффундирующего вещества. Однако при больших концентрациях примеси во многих случаях наблюдается концентрационная зависимость коэффициента диффузии. Так, на рис. 5.6 приведена экспериментально снятая кривая распределения концентрации фосфора по глубине в кристалле кремния, на которой хорошо видны два участка с различными значениями коэффициента диффузии. В таких случаях для расчета кривых распределения необходимо исходить из более, общего уравнения

(5.28)

Непосредственное решение этого уравнения весьма затруднительно. Однако в отдельных случаях удается ввести новую переменную и свести уравнение (5.28) к уравнению

(5.29)

в которое входит лишь одна переменная. Такая подстановка возможна лишь в тех случаях когда распределение концентрации примеси не зависит отдельно от х или от t, а является функцией их комбинации .