§ II.4.3. Концентрация носителей заряда в собственном и слабо легированном полупроводниках

В общем случае концентрация свободных носителей заряда в кристалле может быть вычислена интегрированием произведения плотности квантовых состояний g(E) на функцию распределения f_ф(E) по всем энергетическим уровням системы в соответствии с формулой (7.3). При этом следует обратить внимание на пределы интегрирования. Нa рис. 7.5 показана функция распределения Ферми—Дирака для собственного полупроводника. Здесь сплошной линией показаны области изменения функции f_ф(E) для разрешенных значений энергий, а штриховой линией — для запрещенной зоны. Для определений концентраций электронов в зоне проводимости интегрирование следует производить, как видно из рис. 7.5, от уровня дна зоны проводимости Е_с до верхнего уровня Е_max :

Поскольку функция распределения быстро уменьшается с ростом энергии, то значение верхнего предела интегрирования без заметной погрешности расчета может быть сколь угодно увеличено или взято равным бесконечности.

Подставив в (7.17) выражения (6.71) и (7.12), получим

Для упрощения расчета воспользуемся тем обстоятельством, что рассматриваемые полупроводники являются невырожденными и степень заполнения их зон свободными носителями заряда крайне низка. Следовательно, для свободных носителей f_ф(E) << 1. При этом условии экспоненциальное слагаемое в знаменателе функции распределения Ферми—Дирака (7.12) должно быть значительно больше единицы:

Это позволяет пренебречь единицей в знаменателе (7.18), что эквивалентно замене функции распределения Ферми—Дирака на функцию распределения Максвелла—Больцмана.

С учетом сделанного пренебрежения из (7.18) получим

называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Для германия, например, при комнатной температуре эффективная плотность состояний N_с = 10¹⁹ см ^-3.

Расчет концентрации дырок проводится аналогичным образом, однако при этом используется другое выражение для функции распределения. Если функция f_ф(E) определяет вероятность заполнения данного уровня электроном (распределение Ферми—Дирака), то функция

определяет вероятность того, что этот уровень свободен, или, что то же самое применительно к валентной зоне, занят дыркой. Как и в предыдущем случае, в знаменателе выражения (7.23) можно пренебречь единицей, что эквивалентно переходу к статистике Максвелла-Больцмана. С учетом сделанных замечаний выражение для концентрации дырок запишется:

Взяв интеграл, получим

где величина

называется эффективной плотностью состояний в валентной зоне. В случае германия при комнатной температуре N_υ = 6-10¹⁹ см ^-3.

Собственный полупроводник

Полученные формулы для концентраций электронов и дырок являются справедливыми как для собственного, так и для слаболегированного полупроводника. Существенная разница, однако, при этом заключается в положении уровня Ферми. Найдем положение уровня Ферми и концентрацию носителей заряда для собственного полупроводника.

Положение уровня Ферми в однородном кристалле определяется из условия нейтральности. Дело в том, что в состоянии равновесия уровень Ферми всех частей системы должен быть одинаков. В случае собственного или однородно легированного полупроводника постоянство уровня Ферми обусловлено отсутствием объемного заряда. Если по каким-либо причинам в таком полупроводнике возникнет объемный заряд, который приведет к изменению положения уровня Ферми, то создаваемое этим зарядом электрическое поле вызовет такое перемещение электронов и дырок, которое компенсирует объемный заряд и восстановит исходный уровень Ферми.

В собственном полупроводнике условие нейтральности, позволяющее найти уровень Ферми, определяется равенством концентраций электронов и дырок:

Из этого уравнения легко находится формула для уровня Ферми в собственном полупроводнике:

Нетрудно видеть, что в собственном полупроводнике уровень Ферми проходит вблизи середины запрещенной зоны, причем величина смещения его в ту или иную сторону от середины зависит от отношения эффективных масс электрона и дырки. Если полученную формулу для уровня Ферми подставить в (7.21) и (7.25), то найдем концентрацию носителей заряда в собственном полупроводнике:

где ΔЕ = Е_с—Е_υ — ширина запрещенной зоны полупроводника. При комнатной температуре в беспримесном германии n_i = 2,37×10¹³ см^-3, а в беспримесном кремнии n_i = 1,38·10¹⁰ см ^-3.

Слабо легированный полупроводник

Если в полупроводнике содержатся примеси или дефекты, образующие донорные или акцепторные уровни в запрещенной зоне, то появляются дополнительные электронные переходы, изменяющие концентрацию носителей заряда и положение уровня Ферми. Концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне в этом случае описывается теми же выражениями (7.21) и (7.25), однако энергия уровня Ферми уже не определяется формулой (7.28), а является функцией концентрации примесей. При определении положения уровня Ферми в этом случае надо учитывать не только свободные носители заряда, но и электроны на акцепторных уровнях n_a и дырки на донорных уровнях р_д. Степень заполнения примесных уровней по-прежнему определяется функцией Ферми—Дирака. Если концентрация примесей невелика, то их энергетический уровень является дискретным. В этом случае концентрация носителей заряда на примесных уровнях находится перемножением величины концентрации примесных атомов на значение функции Ферми—Дирака, которое она имеет на примесном уровне. Поэтому если энергии уровней акцепторов и доноров обозначить через Е_а и Е_д, а их концентрации — соответственно через N_a и N_д, то концентрации электронов на акцепторных уровнях n_a и дырок на донорных уровнях р_д могут быть выражены формулами:

При малых температурах, когда заселенность донорных и акцепторных уровней невелика, для определения n_a и р_д можно использовать статистику Максвелла — Больцмана. Тогда формулы (7.30) и (7.31) будут иметь вид:

В общем случае условие электрической нейтральности требует, чтобы полная концентрация электронов равнялась полной концентрации дырок:

В случае электронного полупроводника, в котором имеются только донорные уровни (n_а = 0), при сравнительно низких температурах, когда переходы осуществляются только с донорных уровней в зону проводимости, концентрация дырок в валентной зоне ничтожно мала по сравнению с концентрацией свободных электронов (n>>р). Поэтому условие нейтральности упрощается и приобретает вид п = р_д. Приравнивая (7.21) и. (7.33), получим выражение для уровня Ферми в случае электронного полупроводника:

Если подставить полученное выражение в формулу (7.21) для концентрации электронов, то получим:

где ΔE_д = Е_с — E_д — энергетический зазор между примесным уровнем и дном зоны проводимости.

Представляет определенный интерес нахождение концентрации неосновных носителей — дырок р_n в электронном полупроводнике. Для этого необходимо выражение для уровня Ферми (7.35) подставить в (7.25). После простых преобразований получим -

Найденное выражение устанавливает простую связь между концентрацией основных и неосновных носителей заряда:

и доказывает, что произведение этих концентраций не зависит от положения уровня Ферми и концентрации примеси, а определяется лишь температурой.

Найденная зависимость (7.39) обусловливается термодинамическим равновесием в полупроводнике и называется законом действующих масс. Из этого закона следует, что с повышением концентрации донорной примеси и, следовательно, с ростом концентрации основных носителей наблюдается при постоянной температуре пропорциональное уменьшение концентрации неосновных носителей так, что их произведение остается постоянным и равным квадрату концентрации электронов в чистом полупроводнике. Закон действующих масс справедлив для любого невырожденного полупроводника в условиях термодинамического равновесия.

Рассмотрим поведение концентрации основных носителей при увеличении температуры. С повышением температуры концентрация электронов в электронном полупроводнике возрастает до тех пор, пока не приблизится к концентрации доноров. Условием нейтральности полупроводника в этом случае будет равенство п_n = N_д. Подставляя в это равенство выражение для концентрации электронов (7.21), после несложных преобразований получим формулу для уровня Ферми в рассматриваемом температурном диапазоне:

Дальнейшее повышение температуры приводит к увеличению концентрации электронов проводимости за счет возбуждения их из валентной зоны. При этом наблюдается соответствующее увеличение и концентрации дырок. Если концентрация дырок в валентной зоне, возникших за счет возбуждения электронов в зону проводимости, значительно превысит концентрацию доноров N_д, то полупроводник по своим свойствам оказывается близким к беспримесному. Действительно, при этом концентрация электронов равна концентрации дырок, которая описывается формулой (7.29), уровень Ферми смещается в среднюю часть запрещенной зоны, совпадает с уровнем Ферми для беспримесного полупроводника и определяется формулой (7.28).

Аналогичные зависимости наблюдаются и в дырочном полупро­воднике, в котором имеются только акцепторные уровни. При низких температурах концентрация дырок в валентной зоне равна числу электронов, перешедших на акцепторные уровни п_а. Выражение для уровня Ферми определяется, как и в предыдущем случае, из условия п_а = р_р. Приравнивая (7.32) и (7.25), получим

Подставляя найденное выражение для уровня Ферми в (7.25), получим формулу для концентрации дырок в дырочном полупроводнике:

где ΔЕ_а = Е_а — Е_υ — энергетический зазор между примесным акцепторным уровнем и верхним уровнем валентной зоны. Концентрация неосновных носителей электронов может быть найдена по закону действующих масс:

Как и в случае электронного полупроводника, с повышением температуры в дырочном полупроводнике наступает такой момент, когда все акцепторы окажутся ионизированными, а концентрация дырок будет равна концентрации акцепторов р_р = N_а случае определяется как:

Концентрация неосновных носителей — электронов — определяется в этом случае также по закону действующих масс.

При дальнейшем повышении температуры концентрация дырок начинает возрастать за счет переходов электронов из валентной зоны в зону проводимости. С момента, когда концентрация электронов в зоне проводимости, вызванная этими переходами, окажется значительно больше концентрации акцепторов, дырочный полупроводник начинает вести себя как беспримесный.

Зависимость концентрации основных и неосновных носителей и уровня Ферми в электронном, дырочном и собственном полупроводниках представлена на рис. 7.6. Из рисунка видно, что при малых температурах в легированный полупроводниках уровень Ферми, описываемый формулами (7.35) и (7.41), находится между уровнем примеси и краем соответствующей зоны. Концентрация основных носителей при этом резко возрастает с повышением температуры.

В области температур, где концентрация основных носителей практически постоянна, уровень Ферми постепенно смещается в среднюю часть запрещенной зоны. Это обусловлено влиянием переходов электронов из валентной зоны в зону проводимости. Однако, поскольку количество перешедших электронов меньше числа основных носителей, на графике изменение концентрации последних не заметно. В то же время концентрация неосновных носителей при этом изменяется весьма сильно. Лишь начиная с некоторой температуры количество междузонных переходов оказывается настолько велико, что концентрации основных и неосновных носителей сравниваются и совпадают с концентрацией носителей в собственном полупроводнике при данной температуре: Уровень Ферми при этом, как видно из рисунка, также совпадает с уровнем Ферми для беспримесного полупроводника.

Если в образце имеются оба сорта примесей—доноры и акцепторы, то тип проводимости определяется; по преобладающей примеси. Если, например, концентрация доноров N_д больше концентрации акцепторов N_а, то при Т = 0°К все акцепторные уровни будут заполнены электронами, перешедшими с доноров. Условием нейтральности в этом случае будет

где концентрация ионизированных доноров р_д по-прежнему определяется формулой (7.33), а концентрация свободных электронов выражается формулой (7.21). При повышении температуры все донорные уровни опустошатся и концентрация электронов станет постоянной и равной разности числа доноров и акцепторов:

Аналогичные закономерности наблюдаются в дырочном полупроводнике, содержащем некоторое количество доноров.

Обычно в полупроводнике всегда имеется большее или меньшее: количество неосновной примеси, т.е. доноров в дырочном полупроводнике и акцепторов в электронном полупроводнике. Отношение числа неосновных центров к основным (N_д/N_a или N_a/N_д соответственно) называют степенью компенсации, а образцы, содержащие оба вида центров, — компенсированными.