Глава 4 статистика носителей заряда в твердом теле

§ II.4.1. Функции распределения частиц по энергиям

В системе большого числа частиц могут наблюдаться определенные статистические закономерности в отношении распределения этих частиц по энергиям. В каждом конкретном случае существует наиболее вероятное размещение частиц по энергиям, описываемое статистической функцией распределения f(E,T), представляющей собой среднее число частиц, находящихся в данном энергетическом состоянии Е при неко­торой температуре Т.

Вид функции распределения зависит от того, являются ли данные частицы различимыми и какое число частиц может находиться в данном разрешенном состоянии. Под различимостью понимают свойство частиц изменять макроскопические физические характеристики твер­дого тела при перестановке этих частиц местами.

Функция распределения Максвелла— Больцмана

В классической физике частицы предполагаются различимыми, причем в данном энергетическом состоянии может находиться неограниченное число классических частиц. Примером таких классических частиц является молекулярный газ. Эти частицы описываются хорошо известной в классической физике функцией распределения Максвелла — Больцмана:

где µ_М представляет собой термодинамический параметр, называемый химическим потенциалом. Химический потенциал выражает изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц этой системы на единицу при неизменных температуре и объеме системы. Иными словами, химический потенциал равен величине свободной энергии, приходящейся на одну частицу системы в состоянии равновесия, и выражается формулой

где п — число частиц в системе.

На рис. 7.1 а приведены графики функции распределения При трех различных значениях температуры. Как видно из рисунка, с уменьшением температуры число частиц с малыми значениями энергии неограниченно возрастает. При температуре абсолютного нуля все частицы займут самое нижнее энергетическое состояние.

Зная функцию распределения, можно определить концентрацию частиц n(E)dE, находящихся в интервале энергии dE:

где g(E) — плотность энергетических состояний, приходящаяся на единицу объема системы частиц. В § 6.6 была найдена формула для плотности энергетических состояний электронов (6.70). Подставив функцию распределения Максвелла—Больцмана и формулу (6.70) в уравнение (7.3), получим распределение числа частиц по энергиям:

Найденное распределение показано на рис. 7.1,6 графически для трех значений температуры. Здесь же приведен график плотности энергетических состояний g(E). Видно, что при каждой температуре существует наиболее вероятное значение энергии частиц, при котором п(Е) максимально. По мере уменьшения температуры максимум смещается в сторону меньших энергий, а значение п(Е) в максимуме увеличива­ется. В пределе при Т = 0°К, как уже было отмечено, все частицы системы будут иметь минимальную энергию.

Если проинтегрировать выражение (7.4) по всем значениям энергии, то получим общее число частиц в системе:

Этот результат, может быть использован для определения значения химического потенциала. Из выражения (7,5) найдем

Как видно, химический потенциал является функцией концентрации частиц и щ температуры.

Если подставить найденное выражение для химического потенциала в формулу (7.1), то получим функцию распределения Максвелла — Больцмана в виде

Из этой формулы видно, что предэкспоненциальный множитель, представляющий собой значение функции распределения при Е = 0, неограниченно возрастает с уменьшением температуры.

Функция распределения Бозе — Эйнштейна

В отличие от классических частиц элементарные частицы микромира: фотоны, фононы, электроны, протоны, нейтроны и др. — являются неразличимыми частицами и, следовательно, в общем случае не подчиняются статистике Максвелла—Больцмана. Распределение таких частиц по энергиям зависит от того, подчиняются ли частицы принципу Паули. Если частицы не подчиняются этому принципу (например, фотоны и фононы), то в данном энергетическом состоянии

может находиться неограниченное число частиц. Такие частицы принято называть бозонами, а распределение их по энергиям описывается функцией Бозе—Эйнштейна:

В условиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии. Поэтому химический потенциал бозонов µ_Б = dF/dn = 0, учитывая, что энергия бозонов, например фононов или фотонов, может быть записана как Е=hν, получим функцию распределения Бозе—Эйнштейна (7.8) в виде

По аналогии с выражением (7.4) можно получить формулу для распределения бозонов по частотам:

На рис. 7.2 показаны графики функции распределения Бозе—Эйнштейна (а) и распределение частиц по энергиям (б) при трех значения температур. Как видно из рисунка, в отличие от частиц, описываемых статистикой Максвелла—Больцмана, с уменьшением температуры число бозонов с малыми значениями энергии уменьшается. Общее число бозонов с понижением температуры также уменьшается.

Функция распределения Ферми—Дирака

Если частицы подчиняются принципу Паули (например, электроны, нейтроны и др.), то в каждом энергетическом состоянии одновременно не может быть более одной частицы. В этих условиях функция распределения, выражающая среднее число частиц в данном энергетическом состоянии, будет представлять собой вероятность заполнения данного состояния. Расчетом наиболее вероятного распределения по энергетическим уровням неразличимых частиц, подчиняющихся принципу Паули, получают формулу

получившую название функции распределения Ферми—Дирака [2]. Частицы, описываемые этой функцией распределения, получили название фермионов. Рассмотрим основные свойства распределения Ферми—Дирака применительно к электронам в металле. При температуре абсолютного нуля электроны последовательно занимают все состояния, начиная с самого нижнего, соответствующего дну зоны проводимости. Значение функции распределения для всех этих уровней, очевидно, равняется единице. Как видно из формулы (7.11), последним заполненным состоянием будет энергетический уровень, высота которого, отсчитанная от дна зоны проводимости, равна химическому потенциалу Е_Ф = µ_ф. Этот энергетический уровень Е_ф получил название уровня Ферми. Все энергетические уровни, лежащие выше уровня Ферми, свободны, а значение функции распределения для этих уровней равно нулю: f_Ф(E>E_Ф) = 0. Описанное распределение электронов по энергиям при Т = 0°К показано на рис. 7.3,а ступенчатой линией.

При повышений температуры часть электронов переходит на болей высокие энергетические уровни E>E_Ф, в результате чего вероятность заполнения этих уровней увеличивается, а вероятность заполнения уровней, лежащих ниже уровня Ферми E<E_Ф уменьшается. Ход кривых функции распределения для двух значений температуры, отличных от нуля, показан кривыми на рис. 7.3,а.

С учетом введенного понятия об уровне Ферми функция распределения Ферми—Дирака (7.11) запишется так:

Из формулы (7.12) следует „важное свойство уровня Ферми: вероятность заполнения электроном уровня Е_Ф при любой температуре равна 1/2.

Зная функцию распределения, можно определить концентрацию электронов n(E)dE, находящихся в интервале энергий от Е до Е + dE до формуле (7.3). Подставляя в эту формулу вместо f(E,Т) функцию распределения Ферми—Дирака (7.12) и плотность энергетических состояний электронов (6.70), получим

Графики полученного распределения электронов для трех значений температуры показаны на рис. 7.3,6.