§ II.4.2. Сравнение функций распределения

Произведем далее сравнение трех рассматриваемых статистик. Различие между этими статистиками можно заметить на примере подсчета числа возможных размещений двух частиц в двух состояниях, приведенном в табл. 7.1. Здесь через а и б обозначены две различимых частицы, через в — неразличимые частицы, не подчиняющиеся принципу Паули, а через г—неразличимые частицы, подчиняющиеся принципу Паули. Из таблицы видно, что неразличимость, а также принцип Паули накладывают значительные ограничения на число возможных размещений частиц по состоянию, а следовательно, и на, функцию распределения этих частиц по энергиям.

На рис. 7.4 приведены кривые распределения Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака. Здесь же показано распределение Максвелла—Больцмана. Видно, что значения функций распределения при малых энергиях в случае статистик Максвелла—Больцмана и Бозе—Эйнштейна значительно больше, чем в случае статистики Ферми—Дирака.

Следует, однако, отметить, что при

как видно из формул (7.1), (7.8), (7.11), статистики Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака переходят в статистику Максвелла—Больцмана, которую можно рассматривать как предельный случай этих двух квантовых статистик. Действительно, пренебрегая в знаменателе функций распределения (7.8) и (7.11) единицей по сравнению с экспоненциальным членом, получим формулу (7.1). Условие (7.14) соответствует случаю, когда значение функции распределения значительно меньше единицы, т. е. f(E, Т) << 1. Применение классической статистики к квантово-неразличимым частицам в этом случае оказывается допустимым, так как при этом в каждом состоянии находится в среднем гораздо меньше одной частицы. Случаи попадания в одно квантовое состояние двух и более частиц практически никогда не осуществляются. Поэтому неразличимость частиц и невозможность нахождения более одной частицы в данном состоянии не сказываются на функции расределения.

Система частиц, находящаяся в таких условиях, называется невырожденной, а неравенство (7.14) называется условием невырожденности.

Из сказанного можно сделать вывод о том, что для невырожденных систем неразличимых частиц можно вместо статистики Ферми-Дирака пользоваться статистикой Максвелла—Больцмана.

Однако если число частиц соизмеримо с числом возможных состояний, то вопрос о заселенности этих состояний оказывается весьма существенным. Как было уже сказано выше, заселенность уровней классическими частицами может возрастать неограниченно, в то время как заселенность неразличимых частиц, подчиняющихся принципу Паули, не может превысить единицы. Это обстоятельство приводит к существенной разнице между функциями распределения. Систему неразличимых частиц, подчиняющихся принципу Паули, для которой не выполняется соотношение (7.14), принято называть вырожденной.

Выясним, от каких параметров зависит принадлежность той или иной системы частиц, например электронов, к категории вырожденной или невырожденной. Для этого подставим функцию распределения Максвелла — Больцмана (7.7) в неравенство (7.14), выражающее условие невырожденности

В этом неравенстве экспоненциальный член ехр(—E/kT) достигает максимального значения, равного единице, на самом нижнем разрешенном энергетическом уровне при Е = 0. Поэтому условие (7.15) перепишется:

Как видно из соотношения (7.16), степень вырождения системы электронов определяется их концентрацией и температурой. Чем больше концентрация электронов и чем ниже температура, тем сильнее вырождена система; частиц. При комнатной температуре величина 2[(2πmkT)/h²]^3/2 для электронов с массой, равной массе покоя, составляет 2,5·10¹⁹ см^-3. Следовательно, если концентрация электронов n существенно меньше этой величины, то система является невырожденной:

В полупроводниковых кристаллах, как известно, концентрация свободных электронов при комнатной температуре может изменяться в широких пределах за счет введенных примесей. Например, в кремнии диапазон изменения концентрации составляет от 10¹⁰ до 10²¹ см^-3.

Кроме того, концентрация электронов в полупроводнике сильно изменяется при изменении температуры. Поэтому система электронов в полупроводниках может быть как вырожденной, так и невырожденной.

Интересно отметить, что в формулу для химического потенциала (7.6) входит под знаком логарифма левая часть неравенства (7.16). Поскольку логарифм величины, меньшей единицы, является величиной отрицательной, то химический потенциал невырожденной системы частиц всегда отрицателен, а уровень Ферми лежит ниже дна разрешенной зоны, в которой размещаются свободные частицы.

В отличие от полупроводников в металлах концентрация свободных электронов практически постоянна и составляет более 10²² см ^-3. Следовательно, система электронов в металлах при комнатной температуре является сильно вырожденной. Для того чтобы приблизиться к невырожденному состоянию, как видно из неравенства (7.16), необходимо температуру довести до 10⁵°К, что значительно выше температуры плавления всех известных металлов. Таким образом, электроны в металлах всегда находятся в вырожденном состоянии.

Следует заметить, что деление на вырожденную или невырожденную системы в значительной степени условно, поскольку нельзя провести четкую грань между ними. Очевидно, граница раздела должна определяться величиной заданной относительной ошибки δ_f в определении величины функции распределения при вычислении ее по формуле распределения Максвелла—Больцмана, а не Ферми—Дирака. Если условиться считать величину ошибки, равную, например, δ_f = 0,08, еще допустимой, то границе вырождения будет соответствовать такой уровень Ферми, который пролегает ниже дна зоны проводимости на 2 kT.