§ II.4.4. Концентрация носителей заряда в сильно легированном полупроводнике и металле

Сильно легированный полупроводник

Сильно легированные полупроводники и металлы относятся к категории вырожденных систем. Поэтому к ним нельзя применить полученные в предыдущем параграфе формулы, основанные на статистике Максвелла — Больцмана. При расчете концентрации электронов в сильно легированном полупроводнике необходимо исходить из общего, выражения (7.18). Если за нуль отсчета энергии принять Е_с и ввести безразмерную энергию и приведенный уровень Ферми согласно формулам:

то выражение (7.18) примет вид

В этой формуле интеграл

получил название интеграла Ферми половинного индекса, а выражение, стоящее перед этим интегралом, является эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. С учетом сказанного формула (7.50) перепишется:

Интеграл Ферми половинного индекса не выражается в элементарных функциях. Этот интеграл протабулирован; таблица его значений приведена в Приложении 6.

Расчет концентрации дырок производится аналогичным образом, однако в качестве функции распределения используется выражение (7.23). В результате получается выражение для концентрации дырок

где F_1/2 [— (Δε + µ)] — интеграл Ферми половинного индекса, аргументом которого является [— (Δε + µ), причем Δε — приведенная ширина запрещенной зоны:

На рис. 7.7 приведена номограмма для расчета концентрации электронов и дырок при заданном значении энергии приведенного уровня Ферми, отсчитанной от дна зоны проводимости и по известному отношению эффективной массы к массе свободного электрона:

Следует иметь в виду, что критерий вырождения, определенный в § 7.1 как заданная погрешность δ_f в расчете функции распределения, не совпадает с критерием вырождения, определяемым как заданная погрешность в расчете концентрации носителей заряда δ_n. Действительно, погрешность при расчете концентрации электронов в соответствии со статистикой Максвелла—Больцмана по сравнению с результатом расчета по формуле (7.52) выражается как:

Если и теперь считать погрешность, равную 0,08, допустимой, то границей вырождения будет Е_ф = Е_с — 1,4 kT. Часто в качестве критерия вырождения принимают совпадение уровня Ферми с дном зоны проводимости. Ошибка в определении концентраций электронов в соответствии со статистикой Максвелла-Больцмана составляет, при этом 20%.

Важным обстоятельством в сильно легированных полупроводниках является несохранение закона действующих масс. Перемножая (7.52) и (7.53), получим

Рассмотрим отношение

которое в случае сохранения закона действующих масс должно быть равно единице. Поскольку для легированных полупроводников обычно Δε >> µ, то приближенно можно записать

Тогда (7.57) примет вид

Сравнивая полученное выражение с (7.55), видим, что

то есть, отклонение произведения пр от п_i² определяется ошибкой в вычислении концентрации электронов при замене статистического распределения Ферми—Дирака распределением Максвелла—Больцмана. Положение уровня Ферми в сильно легированном полупроводнике, как и в предыдущем случае, определяется из условия нейтральности (7.34). Подставляя в это соотношение выражения (7.52), (7.53) и (7.31), получим уравнение нейтральности в явном виде для электронного полупроводника, содержащего только доноры:

где Δε_д является приведенным энергетическим зазором между донорным уровнем и дном зоны проводимости:

Аналогичное уравнение нейтральности составляется в случае дырочного сильно легированного полупроводника или полупроводника, содержащего оба типа примесей.

Полученное уравнение нейтральности является исходным для определения положения уровня Ферми и его зависимости от концентрации носителей и от температуры. Однако это уравнение содержит интегралы Ферми и поэтому не может быть решено аналитически

Пусть температура и концентрация доноров таковы, что все атомы примеси ионизированы, а собственная проводимость еще не играет существенной роли. При таких ограничениях концентрация электронов равна концентрации доноров, а уравнение (7.61) приобретает вид

Решение этого уравнения для германия и кремния при некоторых фиксированных температурах приведено на рис. 7.8.

Определение положения уровня Ферми при низких температурах, когда не все примеси ионизированы, или, наоборот, при высоких температурах, когда нельзя пренебрегать собственной проводимостью, требует применения численных решений либо приближенных графических и аналитических методов.

При экспериментальном исследовании сильно легированных полупроводников выявились аномалии в зависимости концентрации свободных носителей заряда от концентрации примесей. В соответствии с изложенной выше теорией в диапазоне комнатных температур в таких полупроводниках, как германий и кремний, все атомы примеси с неглубокими уровнями должны быть ионизированными, а собственная проводимость полупроводника еще не должна играть существенной роли. Однако в сильно легированных полупроводниках измеренные значения концентрации свободных носителей при комнатной температуре в большинстве случаев оказываются меньше концентрации примесей. Для иллюстрации этой аномалии на рис. 7.9 приведены экспериментальные кривые зависимости n_n(N_д) в германии и кремнии. Штриховой линией показана теоретическая зависимость.

Аналогичная зависимость наблюдается и в сложных полупроводниках, например арсениде галлия, легированном селеном или теллуром [20].

Следует отметить также, что чем выше предельная растворимость данного типа примеси в полупроводнике, тем позже наступает отмеченное отклонение. Однако концентрация примеси, при которой наступает это отклонение, всегда значительно меньше предельной растворимости.

Эта аномалия указывает на тот факт, что некоторые атомы примеси: находятся в таком состоянии, в котором они не ионизируются и не проявляют донорных (или акцепторных) свойств. Возможными причинами указанного расхождения являются: образование химических соединений полупроводника с примесью (например, в случае кремния, SiAs, Si₂As и др.), осаждение легирующей примеси на различных структурных дефектах, например образованием «примесных атмосфер» на дислокациях, присутствие атомов примеси в междуузлиях и др.

Металл

Рассмотрим далее концентрацию носителей заряда в металле. В общем случае концентрация электронов в металле может быть вычислена интегрированием произведения g(E)·f_Ф(Е) по всему спектру энергий электронов в металлах. Однако металлы относятся к такому частному случаю, который характеризуется крайне сильным вырождением. Это позволяет определить концентрацию электронов, не прибегая к формуле, аналогичной (7.18). Благодаря большой концентрации электронов проводимости n>10²² см ^-3 все нижние энергетические уровни в металлах заняты и при всех температурах ниже точки плавления металла энергия уровня Ферми, отсчитываемая от дна зоны валентных электронов, гораздо больше kT. Функция Ферми—Дирака для значений энергии, меньших Е_ф, близка к единице и почти равна нулю, когда .энергия превышает Е_ф на 2кТ и более. Иными словами, функция Ферми—Дирака имеет почти ступенчатый вид, а ее производная имеет острый максимум при Е = Е_ф. Это позволяет разложить плотность квантовых состояний в ряд вблизи уровня Ферми и после некоторых выкладок получить выражение для концентрации электронов в сильно вырожденном твердом теле в зависимости от энергии Ферми в виде [22]:

Поскольку в случае металлов концентрация электронов проводимости обычно известна, то из полученной формулы легко определяется выражение для уровня Ферми:

где

представляет собой значение уровня Ферми металла при абсолютном нуле температуры.

Уровень Ферми большинства металлов расположен вблизи 5 эв. Температурная, поправка значения уровня Ферми, как видно из выражения (7.65), во всём температурном интервале от абсолютного нуля до точки плавления составляет не более сотых долей процента. Поэтому в отличие от полупроводников в металлах уровень Ферми практически не зависит от температуры и определяется формулой (7.66).