14.3. Поиск компромисса между частными ценностями

Один из наиболее наглядных и простых способов задания ценности варианта — прямое построение частной функции цен­ности по каждому q-му критерию взятому отдельно и независимо от других, которое проводится на основе получае­мой от ЛПР информации. ЛПР указывает для числовой оценки каждого варианта по q-му критерию j , значение частной функции ценности Отмечая эти точки на плоскости и соединяя их линией (рис. 14.1), строится график частной функции ценности

Чтобы найти общую функцию ценности варианта

можно воспользоваться одним из приведенных выше способов свертки частных функций ценности. Более сложные способы построения функции ценности основаны на поиске компромис­са между оценками вариантов по частным критериям путем взаимной компенсации (замещения) их достоинств и недостат­ков.

Пусть некоторые варианты эквивалентны для ЛПР

по предпочтительности , т. е. ЛПР все равно, какой из

двух вариантов выбрать. В многокритериальном пространстве (рис. 14.2) варианты имеющие равные цен­

ности , представляются точками

и Соединив все точки, соответствующие эк­

вивалентным вариантам, получим так называемые поверхности (линии) безразличия, или поверхности равных ценностей/ по­лезностей.

Задание поверхностей безразличия определяет структуру предпочтений ЛПР в пространстве критериев. Для более пред­почтительного варианта будет выполняться условие

а соответствующая ему точка будет распо­лагаться на более отдаленной от начала координат поверхно­сти безразличия, чем точка (считая, что оценки по частным критериям упорядочены от худших к лучшим). Если любые два варианта сравнимы и отношения выражающие пред­

почтения ЛПР, транзитивны, то при заданной структуре пред­почтений можно легко найти лучший вариант решения как ва­риант, лежащий на наиболее отдаленной от начала координат поверхности безразличия. Здесь наблюдается полная аналогия с парето-оптимальными решениями задач многокритериальной оптимизации, где ищется точка х*, максимизирующая значение целевой функции или показателя эффективности

Функции ценности, имеющие поверхности безразличия одно­го и того же вида и дающие одно и то же упорядочение вариан­тов, называются стратегически эквивалентными. Так, страте­гически эквивалентны функции

при условии, что критериальные оценки варианта и веса w_q положительны для всех номеров критериев q.

Знание структуры предпочтений ЛПР позволяет проводить непосредственное построение функции ценности, используя за­мещение критериев по ценности. Укажем один из таких спосо­бов построения функции ценности, который получил название процедуры «зубья пилы», или двойной стандартной последова­тельности (рис. 14.3).

Для простоты рассмотрим случай двух критериев Процедура построения функции ценности состоит из следующих этапов.

1.На плоскости двух критериев ЛПР выбирает исход­ный вариант — точку

2.Один из критериев, например выделяется как основ­ной, и ЛПР задает отклонение поэтому критерию.

3.ЛПР указывает такое отклонение _ по второ­му критерию чтобы вариант был эквивалентен по предпочтению варианту ,т. е. чтобы

Это означает, что точки лежат на одной и

той же линии безразличия.

4.ЛПР задает отклонение по первому крите­рию иищет такое отклонение по второму крите­рию чтобы были эквивалентны варианты

И 1 , и т. д.

5.Соединяются все точки, соответствующие эквивалентным вариантам, которые образуют линию безразличия.

Отношение _ называется коэффициентом за­мещения. Коэффициент замещения равен «количеству единиц», котороеЛПР согласно «заплатить» за увеличение по кри­терию чтобы компенсировать уменьшение по критерию Если коэффициенты замещения и не зави­

сят от выбора вариантов то общая функция ценности имеет линейный вид:

Линии безразличия будут тогда параллельными прямыми. Если коэффициенты замещения не зависят от оценок по перво­му критерию но зависят от оценок по второму критерию то общая функция ценности

В этом случае линии безразличия будут параллельно сдвину­тыми кривыми.

Построение функций ценности путем замещения критериев по ценности по своей идее аналогично компенсации критериев по относительной важности в методах многокритериальной оп­тимизации.