15.3. Теория многомерной полезности

В общем случае полезность каждого варианта зависит от его оценок по многим частным критериям. С подобной ситуацией мы уже неоднократно встречались, например, при построении деревьев решений в разд. 11.3. Необходимость учета этого обсто­ятельства привела к созданию аксиоматической теории много­мерной полезности (Multi-Attribute Utility Theory — MAUT), су­щественный вклад в построение которой внесли Р. Кини, Г. Рай- фа, П. Фишберн (США).

Теория опирается на формальные допущения (аксиомы), ха­рактеризующие предпочтения ЛПР и задающие определенный вид функции полезности. Предложены разные системы таких аксиом. Представим одну из наиболее известных аксиоматик многомерной полезности, которая включает в себя аксиомы, ана­логичные используемым в теории одномерной полезности, и ряд дополнительных аксиом, устанавливающих независимость пред­почтений ЛПР.

МП1. Аксиома полной сравнимости. При сравнении любых двух вариантов выполняется одно и только одно бинар­

ное отношение между полезностями вариантов ли­

бо равенство , либо строгий порядок

или

МП2. Аксиома транзитивности. Отношения равенства и строгого порядка между полезностями вариантов транзитивны:

МПЗ. Аксиома растворимости. Для любых вариантов таких, что найдется такая вероят­

ность р, что полезности варианта и простой лотереи равны:

МП4. Аксиома Архимеда. Для любых вариантов таких, что |, найдутся вероятности р и q

такие, что полезности варианта и простых лотерей удовлетворяют неравенствам

МП5. Аксиома независимости по предпочтению. Для лю­бых вариантов таких, что найдется та­кая вероятность р, что полезности простых лотерей и при любом варианте удовлетворяют неравенству

МП6. Аксиома независимости по полезности. Для любых простых лотерей таких, что , найдется та­

кая вероятность р, что полезности составных лотерей и при любом варианте удовлетворяют неравенству

Аксиомы МП1 и МП2 совпадают с аксиомами ОП1 и ОП2. Аксиомы МПЗ и МП4 в совокупности аналогичны аксиомам ОПЗ и ОП4. Аксиомы независимости по предпочтению МП5 и полезности МП6 означают, что на результаты сравнения двух конкретных вариантов или лотерей не влияет присутствие ка- ких-либо третьих вариантов. На критериальном языке это зву­чит так: предпочтительность вариантов и лотерей, которые раз­личаются лишь значениями оценок по отдельным частным кри­териям, не зависит от одинаковых фиксированных значений оце­нок по остальным частным критериям.

Доказано, что при выполнении аксиом МП1 — МП6 существу­ет действительная многомерная функцияполезности , за­данная на множестве вариантов в виде поли­линейной функции

Здесь — полезность оценки варианта по q-му частному критерию удовлетворяющая условию нормировки

причем худшая и

лучшая оценка по шкале критерия част­

ный шкалирующий параметр, который определяется значением функции полезности

Общая шкалирующая константа находится из характе­

ристического уравнения

При функция полезности приобретает адди­

тивную форму

а при мультипликативную форму

При к = О мультипликативная функция полезности (15.5) сводится к аддитивной функции (15.4). Как и в одномерном слу­чае, вариант предпочтительнее для ЛПР варианта

тогда и только тогда, когда варианты экви­

валентны для ЛПР

На практике нахождение численных значений шкалирующих констант и конкретного выражения для функции многомер­ной полезности сопряжено со значительными трудностями. Это связано с большими расхождениями, которые может допускать ЛПР при выражении своих предпочтений.