15.2. Теории одномерной полезности

На необходимости явного учета неопределенности в предпо­чтениях ЛПР акцентируется внимание во всех разновидностях теории полезности. Одной из первых была теория экономиче­ского поведения Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна (США, 1944). В ней сформулирован ряд требований к рациональности поведения человека в виде аксиом общего характера и аксиом

рациональности суждений ЛПР, исходя из которых доказывает­ся существование аддитивной действительной функции полезно­сти, реализующей функциональную модель рационального вы­бора.

Для всех вариантов решения из некоторого заданного мно­жества имеющих вероятности реа­лизации, постулируется выполнение следующих утверждений.

ОП1. Аксиома полной сравнимости. При сравнении любых двух вариантов между ними выполняется одно и только

одно бинарное отношение: либо (эквивалентность), либо

либо (строгое превосходство).

ОП2. Аксиома транзитивности. Отношения эквивалентно­сти и строгого превосходства между вариантами транзитивны: если , то

ОПЗ. Аксиома непрерывности. Для любых вариантов

таких, что найдется вероятность р такая, что

вариант и простая лотерея эквивалентны:

ОП4. Аксиома замещения или упрощения лотерей. Для лю­бых вариантов эквивалентных соответственно простым лотереям выполняются соот­ношения:

Аксиома замещения ОП4 представляет собой аналог уже упоминавшегося условия независимости результатов сравнения двух вариантов от сравнения остальных пар вариантов.

Доказано (теорема Неймана—Моргенштерна), что при вы­полнении аксиом ОП1 — ОП4 существует действительная функ­ция полезности заданная на множестве вариантов А, та­кая, что

Вариант предпочтительнее для ЛПР варианта тогда и только тогда, когда , варианты эквивалент­

ны для ЛПР

При вычислении значений функции полезности для разных вариантов можно воспользоваться методом стандартной игры, предложенным Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном. Суть

этого метода заключается в следующем. ЛПР каким-либо об­разом упорядочивает все варианты решения проблемы по пред­почтительности, например Первому ва­рианту приписывается максимальное значение полезности а последнему варианту — минимальное зна­чение

Для каждого из оставшихся вариантов ставится следую­щий мысленный эксперимент: сравниваютсяпо предпочтитель­ности вариант и простая лотерея , в которой вариант может выпасть с вероятностью а вариант с вероятностью Изменяя величину вероятности ЛПР стремится установить эквивалентность варианта и лотереи

т. е. найти точку безразличия В этом случае функ­

ция полезности для варианта равна

Информация, полученная от ЛПР об упорядоченности вари­антов и параметрах функции полезности (величинах вероятно­стей pi), позволяет задать вид функциональной зависимости по­лезности. Из приведенного соотношения (15.1) следует, что

Это означает, что функция полезности выражающая

предпочтения ЛПР, измеряется в шкале интервалов и инвари­антна относительно положительного линейного преобразования (выбора масштаба и точек отсчета ). Заметим, что ме­

тод стандартной игры позволяет также согласовать качествен­ные и количественные измерения предпочтений ЛПР, сделанные в порядковой шкале и шкале интервалов.

Помимо ставшей классической аксиоматики Неймана—Мор­генштерна, были сформулированы и другие системы аксиом ра­ционального выбора, которые позволяют устанавливать не толь­ко вид функции полезности, но и определять вероятности собы­тий. Были также разработаны разные варианты теории полезно­сти, опирающиеся не на объективные, а на субъективные вероят­ности, которые назначаются ЛПР и отражают степень его субъ­ективной уверенности в осуществлении вариантов решения. Од­ним из первых такой субъективистский подход к взаимосвязан­ным понятиям вероятности и полезности предложил Ф. Рамсей (Великобритания), работа которого появилась в 1926 г., т. е. зна­чительно раньше теории Неймана—Моргенштерна. В методе

анализа решений Г. Райфы (США) условные субъективные ве­роятности исходов в лотереях находятся как результаты стати­стических испытаний (опирающихся на байесовскую методоло­гию) на разных ветвях дерева решений.