3. Математические схемы моделирования систем: стохастические схемы формализованного описания систем.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды. Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта и учитывающие условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Модель объекта моделирования, т.е. системы S, можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему: x_iX, i=[1;n_X]

совокупность воздействий внешней среды: v_lV, l=[1;n_V]

совокупность внутренних (собственных) параметров системы: h_kH, k=[1;n_H]

совокупность выходных характеристик системы: y_jY, j=[1;n_Y]

В общем случае х_i, v_l, h_k у_j, являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат детерминированные и стохастические составляющие. При моделировании системы S входящие воздействия являются независимыми (экзогенными) переменными, а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными. Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором Fs, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида:ȳ(t)=F_s(x̄,v̄,h̄,t) (2.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y_j(t), называется выходной траекторией y(t). Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы S и обозначается Fs. Математическую модель (2.1) принято называть динамическими моделями (системами). Для статических моделей: ȳ=f(x̄,v̄,h̄)(2.2)

Если математическое описание объекта моделирования содержит элементы случайности, т.е. если можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды v(t) и стохастические внутренние параметры h(t) присутствуют, то модель называется стохастической в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными воздействиями:ȳ(t)=f(x̄,t)+ε (2.3)

Дискретно-стохастические модели (Р-схемы). при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функционирования системы S подход остается аналогичный рассмотренному конечному автомату, то влияние фактора стохастичности можно проследить разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.

В общем виде вероятностный автомат можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (Р - схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

множество G, элементами которого являются всевозможные пары , где х_i и z_s —-элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции  и , то с их помощью осуществляются отображения и , то говорят, что определяет автомат детерминированного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф — множество всевозможных пар вида , где y_j — элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

При этом , где — вероятности перехода автомата в состояние z_k и появления на выходе сигнала y_j если он был в состоянии z_s и на его вход в этот момент времени поступил сигнал x_i. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов

называется вероятностным автоматом (Р - автоматом).

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:

При этом и где z_k и q_k — вероятности перехода Р-автомата в состояние z_k и появления выходного сигнала у_k при условии, что Р-автомат находился в состоянии z_s и на его вход поступил входной сигнал х_i.

Р-автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е.

Для оценки различных характеристик исследуемых систем, представляемых в виде Р-схем, кроме случая аналитических моделей можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы). Рассмотрим, например, использование в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (СМО), которые будем называть Q-схемами. СМО представляют собой класс мат схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем. Характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты t. В любом элементарном акте обслуживания можно выделить 2 основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания П_i, (рис), состоящего из накопителя заявок Н_i,в которых может одновременно находиться l_i=0….L_i^H заявок, где L_i^H емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок К_i. На каждый элемент прибора обслуживания П_i поступают потоки событий: в накопитель Н_i— поток заявок w_i, на канал К_i— поток обслуживании u_i.

Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты t. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий и задается последовательностью {t_n}={0<=t₁<=t₂…<=t_n…}, где t_i, — момент наступления n-го события. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между n-м и (n-1)-м событиями {t_n}. Поток неоднородных событий – последовательность {t_n,f_n}, где t_n— вызывающие моменты; f_n— набор признаков события.