Раздел 6. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций

63. Формализация общей постановки задачи принятия решений, логические элементы ее составляющие и основные типы математических моделей процесса выбора решений.

X – множество альтернатив; Y – множество последствий. Они произвольные абстрактные множества, между которыми предполагается существование причинно-следственной связи.

Также мы полагаем наличие некоторого механизма оценки качества подобного выбора. Требуется осуществить выбор наилучшей альтернативы, для которой исход обеспечивает наилучшую оценку качества.

Формализация общей постановки задачи принятия решения требует учета двух важных моментов:

1. учет связи (детерминированный (в условиях определенности), вероятностный (условия неопределенности и риска (м. использовать теорию игр) или условия риска = вероятностная неопр-ть (вер-ть м.б. статистическая или экспертная)), характеристика связи отсутствует).

2. механизм оценки качества выбора (однокритериальный или многокритериальный).

В условиях определенности существует однозначная зависимость . Тогда общая математическая модель принятия решений может быть описана отображением следующего вида: , где

В условиях неопределенности: Введем множество Z, описывающее состояния среды как источника неопределенности. Мы можем как знать характер распределения Z, так и не знать этого. Общая математическая постановка задачи принятия решений в условиях неопределенности и риска сведется к следующей зависимости: где – некоторая функция реализации и Согласно заданному отображению некоторому решению могут быть поставлены в соответствие различные исходы , где реализация конкретного исхода будет зависеть от состояния фактора неопределенности z.

В условиях полной или «природной» неопределенности отсутствует характеристика связи между альтернативами и исходами, т.е. у нас нет никакой информации о факторе неопределенности z.

В случае однокритериального выбора: , где R –целевая функция, которую требуется, к примеру, максимизировать. При этом сравнение исходов сводится к сравнению соответствующих им чисел

В случае многокритериальности: имеется несколько критериев, которые описываются частными целевыми функциями которые необходимо оптимизировать.

Логические элементы процесса принятия решений

Главное в процессе принятия решений – достижение поставленных целей. Цели формулируются на основе определенных критериев, которые определяются через показатели.

Критерий принятия решений – это логическая конструкция, носящая императивный характер (т.е. содержащая определенные требования) и отражающая одну из сторон системы предпочтений или всю ее целиком. Критерии принятия решений могут быть формально выражены, записаны на языке формальной логики и/или естественном языке. В зависимости от формы представления критерий позволяет ответить на один из следующих вопросов:

• является ли альтернатива допустимой, т.е. может ли отдельная альтернатива (при условии, что остальные будут хуже) рассматриваться как решение ЗПР;

• является ли альтернатива удовлетворительной, т.е. можно ли ее рассматривать как решение ЗПР, независимо от того, какие еще альтернативы имеются или могут быть найдены в дальнейшем;

• какая альтернатива из двух сравниваемых лучше;

• является ли альтернатива оптимальной.

Первые 2 вопроса - критерии допустимости, 2-ые – критерий оптимальности. Правила работы разные:

• Критерий допустимости - более четкий, работает с одним вариантом решения

• Критерий оптимальности - надо иметь 2 варианта, дает возможность расширить множество. Следует отличать критерий от показателя.

Как правило, каждый из выбираемых вариантов характеризуется не одним, а набором показателей. Каждый показатель отражает некоторое свойство (характеристику) объекта. Но в общем случае это свойство может быть измерено (отображено) несколькими способами. Термин «шкала» может использоваться в различных контекстах:

• как результат (шкальное значение) измерительных операций, примененных к эмпирической системе;

• как средство измерения.

Этапы построения шкалы:

• выбрать форму шкалы,

• выбрать тип оценки,

• выбрать число позиций шкал,

• выбрать наименование позиций шкал,

• описать позиции шкалы.

Формы шкалы: числовая, вербальная, графическая.

Тип оценки: абсолютная оценочная шкала, когда наблюдаемое явление измеряется в терминах интенсивности (хорошо, отлично), относительная оценочная шкала, когда интенсивность сравнивается со стандартом, частотная, когда наблюдаемое явление измеряется в частоте (редко, часто).

Мы имеем следующие типы шкал.

1. номинальная (имеет смысл сравнивать только с целью установления тождества или различия);

   1. Эмпирическая операция - Установление равенства

   2. Допустимое преобразование: Произвольное, имеющее взаимно-однозначное обратное

2. порядковая;

   1. Эмпирическая операция - Установление порядковых отношений

   2. Допустимое преобразование: Монотонно возрастающая функция F(x)

3. абсолютная.

   1. Эмпирическая операция - Установление тождества отношений

   2. Допустимое преобразование: Тождественное преобразование F(x)=x

4. шкала отношений (масса и стоимость)

   1. Эмпирическая операция - Установление равенства отношений

   2. Допустимое преобразование: Умножение на константу F(x)=ax, a>0

5. шкалой интервалов (время и температура).

   1. Эмпирическая операция - Установление равенства интервалов

   2. Допустимое преобразование: Линейное преобразование F(x)=ax+b, a>0, b0

6. Разностей шкала

   1. Эмпирическая операция - Установление равенства интервалов

   2. Допустимое преобразование: Линейное преобразование F(x)=x+b, b0

Требование к шкалам: требование инвариантности – в результате преобразование шкалы объект выбора не должен меняться.

Переход от менее совершенной шкалы к более совершенной недопустим, тогда как переход от более совершенной шкалы к менее совершенной осуществляется легко.

Для экспертных показателей требуется описание шкал.

Нормирование локальных критериев: векторная нормализация, нормализация осреднения и линейная трансформация

Формирование интегрального критерия эффективности выбора: линейная свертка, min(max) свертка, мультипликативная свертка, нелинейные и комбинированные методы свертки.

Основные типы математических моделей процесса выбора решений

По объекту моделирования можно выделить три класса формальных конструкций, предназначенных для описания поведения человека на этапе «выбор решения»:

• Бинарные отношения. Объектом моделирования является процесс сравнения альтернатив. В простейшем случае процесс сравнения сводится (а это бывает чаще всего) к попарному сравнению вариантов решения. В этом случае безразлично, на каком множестве, X или Y задана система предпочтений, поскольку между решением x и исходом у существует однозначная зависимость вида и общая модель выбора примет следующий вид , где – заданное множество, а R – произвольное бинарное отношение на . (+ С помощью моделей бинарных отношений мы можем определять ядра, мажоранты).

• Индикаторы предпочтений. Объектом моделирования выступает оценка каждой альтернативы. Способы формализаций индикаторов предпочтений зависят от учета степени определенности проблемной ситуации. В условиях определенности так же, как и для предыдущего класса, безразлично на каком множестве X или Y задана система предпочтений. В этом случае общая модель выбора может быть сформулирована как или , а вот в случае неопределенности и риска модель выбора будет иметь вид только ( и представляют собой отношения предпочтения на соответствующих множествах).

  • Функция ценности относится к классу индикаторов предпочтения, с помощью которых моделируется оценка одной альтернативы. Является математической моделью теории выбора.

Функция ценности: любая функция, определенная на множестве вариантов решения, такая что для более предпочтительной альтернативы функция ценности больше.

Функция ценности существует, если бинарное отношение является полным нестрогим порядком и обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности.

Достоинства:

• Можно программировать, облегчение путем автоматизации.

Недостатки:

• Упрощения и искажения.

• Сложный и трудоемкий процесс построения.

• Не универсальность использования.

Кроме того, если бинарное отношение – полный порядок, а множество вариантов решений конечно, то соответствующая функция ценности будет со строгой шкалой. Если множество вариантов решений бесконечно, то бинарное отношение должно быть непрерывным. Соответствующая функция ценности будет с порядковой шкалой.

Функция ценности:

1) скалярная функция

2) любая монотонно возрастающая преобразованная функция есть функция ценности

3) измеряет предпочтительность в порядковой шкале

Если бинарное отношение R есть полный порядок, а множество – конечно, то ему может быть поставлена в соответствие функция ценности V(x) со строгой шкалой (т.е. различным значениям х соответствуют разные значения V(x)).

Условие существования функции ценности на бесконечном множестве формулируется теоремой Дебре. Пусть – подмножество n-мерного векторного пространства, R – полный порядок и обладает, кроме того, свойством непрерывности. Тогда функция ценности существует. Порядок R является непрерывным, если для множеств

Основные задачи: определение независимости критериев по предпочтению.

• Функция полезности – это функция, определяемая на множестве исходов, такая, что для каждого исхода значение этой функции равна полезности этого исхода. Полезность, в отличие от ценности, есть количественный показатель, и измеряется в шкале интервалов. ФП является монотонно возрастающей, если x_1≻x_2 ⟺u(x_1 )>u(x_2 ).

Полезность — это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим решение, каждому возможному исходу. У каждого ЛПР своя функция полезности, которая показывает его предпочтение к тем или иным исходам в зависимости от его отношения к риску. Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей исходов на значения полезностей этих исходов.

Методология принятия решений в условиях неопределенности, основанная на функции полезности индивида, опирается на пять аксиом, которые отражают минимальный набор необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игрока.

1. Аксиома сравнимости (полноты). Для всего множества S неопределенных альтернатив (возможных исходов) индивид может сказать, что либо исход x предпочтительнее исхода y, либо наоборот, либо индивиду безразлично, какой из двух исходов выбрать.

2. Аксиома транзитивности (состоятельности). Если .

3. Аксиома сильной независимости. Сильная независимость означает, что если индивид безразличен выбору между x и y, то он будет также безразличен к выбору между лотереями .

4. Аксиома измеримости..

5. Аксиома ранжирования..

При названных предположениях Нейманом и Моргенштерном было показано, что ЛПР при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности. Другими словами, из всех возможных решений он выберет то, которое обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность.

Задачи: нахождение детерминированного эквивалента лотереи, сравнение лотерей.

• Функция выбора. Объектом моделирования выступает сам выбор наилучшей альтернативы из всего множества альтернатив. Данный класс является обобщением всех вышеперечисленных классов и представляет более общий подход к формальному описанию процесса выбора.

• Задачи: композиция и декомпозиция.