Задача об оптимальном портфеле ценных бумаг. Модели Марковица и Тобина
Инвестор располагает некоей суммой денег, предназначенной им для приобретения ценных бумаг на определенный промежуток времени. В конце этого промежутка он их распродает и извлекает доход за счет разницы цен. Принимая решение о видах и количествах покупаемых бумаг, инвестор стремится получить ожидаемый им доход с минимальным риском.
Эта
задача решается при следующих исходных
данных: известны математическое ожидание
,
дисперсия
случайной эффективности
по каждому виду j
ценных бумаг (j=1,…,n),
а также − ковариации этих эффективностей:
.Удобно
также ввести в рассмотрение коэффициенты
корреляции
;
с их помощью измеряется линейная связь
между двумя случайными величинами
.
Неизвестными
являются доли
общего вложения, приходящиеся на j-ю
бумагу. Инвестор-оптимизатор выбирает
эти доли таким образом, чтобы получить
портфель ценных бумаг требуемой ожидаемой
доходности
с минимальным риском
.
Математически этому соответствует известная из портфельной теории Однокритериальная модель эффективного портфеля инвестора (задача Марковица):
Если инвестор имеет возможность проводить операции с ценными бумагами типа коротких продаж (short sale), то в модели) требование неотрицательности переменных можно снять и рассматривать их без ограничения на знак.
Расчеты
по модели для различных значений
доходности
позволяют, в том числе, выявить эффективные
портфели, т. е. портфели, не улучшаемые
сразу по двум рассматриваемым показателям
и
.
Всем
таким портфелям соответствует, так
называемая, эффективная траектория.
Эта линия в плоскости портфельных
характеристик изображается кривой
зависимости риска
(СКО) от эффективности
.
Эта кривая имеет положительный наклон
к оси абсцисс
и возрастающую отдачу по оси ординат
:
последовательные одинаковые приросты
ожидаемой доходности портфеля
сопровождаются возрастающими приростами
его риска (в математике такая функция
называется строго выпуклой) (рис. 31).
Множество эффективных портфелей
составляет подмножество допустимых,
на эффективной траектории допустимые
портфели являются одновременно и
эффективными в том смысле, что они дают
минимальный риск при фиксированной
ожидаемой доходности. Имея кривую «а»,
инвестор находит на ней точку
,
в которой полезность
максимальна.
Главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рисковые ценные бумаги целесообразно делать вложения не в одну бумагу, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен, но случайные компоненты независимы.
Модель Тобина (учитывает возможность привлечения безрисковых активов).
Формируя
такой портфель, инвестор, в дополнение
к рисковым ценным бумагам, учитывает
также возможность вложений с нулевым
риском и заданной эффективностью, т.е.
под неслучайную ставку
.
Обозначив долю таких вложений через
,
придем к модели Тобина, предложенной
им в порядке расширения постановки
модели Марковица, и с теми же комментариями
по поводу влияния коротких продаж на
обязательность условий
:
Для
этой задачи эффективная траектория,
полученная по ее решениям при различных
значениях параметра
,
содержит
прямолинейный отрезок c
началом в точке (
,0)
и приходящий в точку касания (
)
с траекторией эффективных портфелей
«укороченной» задачи Марковица. Любой
портфель на прямолинейном участке этой
траектории получается комбинированием
безрисковой инвестиции (
,0)
с вложением в касательный портфель (
)
и является оптимальным решением задачи
Тобина.
Этот вывод сохраняется и при снятии требования неотрицательности для части или всех переменных в задаче Тобина, но уже по отношению к криволинейной эффективной траектории задачи Марковица с тем же набором не ограниченных знаком переменных.
