5.4. Производственная мощность роп и птб - системы

массового обслуживания клиентов

Во многих областях практической деятельности человек сталкивается с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очереди у билетных кассах, в крупных аэропортах, в ремонтных цехах в ожидании ремонта автомобилей, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки.

Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

В теории систем массового обслуживания (СМО) обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

В теории СМО рассматриваются такие случаи, когда поступление требований происходит через случайные промежутки времени, а продолжительность обслуживания требований не является постоянной, т.е. тоже носит случайный характер. В силу этих причин одним из основных методов математического описания СМО является аппарат теории случайных процессов.

Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди, это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств (постов диагностики и ремонта).

Однако каждое дополнительное устройство (пост технического обслуживания) требует определенных материальных затрат. Из-за неравномерности поступления требований на обслуживание увеличивается время бездействия обслуживающего устройства. Следовательно, возникает задача оптимизации - каким образом достичь определенного уровня обслуживания (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств, в нашем случае постов ТО и ремонта.

СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальными (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

- с неограниченным временем ожидания (с ожиданием);

- с отказами;

- смешанного типа.

В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится. Классическим примером такой системы может служить работа АЗС, шиномонтажных мастерских, РОП в отсутствие конкуренции (малый населенный пункт).

В системах с отказами поступившее требование, застав все устройства занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с отказами может служить работа АЗС, шиномонтаж, РОП в условиях конкуренции (большой город).

В системах смешанного типа поступившее требование, застав все устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему. Примером такой системы с отказами также может служить работа АЗС, шиномонтажных мастерских, РОП в условиях конкуренции.

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований (маркетинговый анализ, см. [29]).

Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания, например, расширение предприятия.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

= 1 : T,

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами.

1. Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным.

2. Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени.

3. Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

При простейшем потоке требований, распределение требований, поступающих в систему, подчиняется закону распределения Пуассона: вероятность Pk(t) того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

Pk(t) = e-t( t)k : k!,

где - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

На практике условия простейшего потока не всегда выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров и их перевозку в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают в РОП. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно определить статистической обработкой данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е.

а = 2.

Пример. В табл. 5.14 приведены данные, полученные в результате наблюдения за реальным процессом поступления заявок на обслуживание в РОП (например, моечная станция). Первая строка - число заявок поступивших в течение часа (n), вторая строка - частота наступления такого события (fn ) или количество таких часовых интервалов.

Таблица 5.14

Данные наблюдения за РОП

n 0 1 2 3 4 5 6 fn 10 31 40 20 10 4 6

Из таблицы: было 10 часовых интервалов, когда не было ни одной заявки и 40 интервалов, когда было по 2 заявки.

Пусть n? и Sn2 среднее значение и дисперсия n, N - интервал наблюдения, тогда

6

n? = (Уnfn) : N =

n=0

=(0•10+1•31+2•40+3•20+4•10+5•4+6•6):

:(10+31+40+20+10+4+6) = 2,207 заявок в час;

6

Sn2=[Уn2fn -N(n?)2] : (N - 1) =

n=0

= (847 - 589,37) : 120=2,147.

Получили n? ? Sn, что дает основание предполагать, что процесс поступления заявок на обслуживание протекает в соответствие с пуассоновским законом распределения с м = 2,2 поступления в час. На такую интенсивность и должна быть рассчитана станция чистки и мойки автомобилей.

Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

Время обслуживания одного требования (tобс) - случайная величина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит как от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных внешних требований, поступающих в систему (к примеру, различной квалификации персонала постов ТО и ремонта, грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку).

Случайная величина tобс характеризуется законом распределения. Вид такого закона можно определить только на основе статистических испытаний. Неплохие результаты дает, поэтому на практике чаще всего принимается показательный закон распределения времени обслуживания.

При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность Pt_обс события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

Pt_обс(t)=1-e,- vt

где V - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

V=1 : t'обс,

где t'обс - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , это отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания V.

a = : V,

где a - коэффициент загрузки;

- интенсивность поступления требований в систему;

V - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Из этих соотношений получаем, что

a = t'об.

Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени, произведение t'об показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО): n>.

В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки : n .

Обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам. Ситуация в таких РОП напоминает поликлинику, где врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15 минут. Планирующие органы из этого обычно делают вывод: за четырёхчасовый рабочий день врач должен принимать 16 человек. Однако больные приходят в случайные моменты времени. В результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно скапливается очередь.

Та же самая ошибка допускается при расчете числа коек в больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете числа постов РОП, числа погрузочных средств, числе приемщиков на элеваторах, числе причалов в морских портах и пр.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания.

Таким образом, используя методы СМО, можно определить:

- оптимальное число каналов обслуживания;

- вероятность занятости каждого из каналов обслуживания;

- функцию распределения и интенсивность входящего потока заявок на обслуживание;

- среднее время ожидания обслуживания и среднее время обслуживания одной заявки;

- среднее число незанятых каналов обслуживания и убыток от их простоя;

- среднее число занятых каналов;

- вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты;

- вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны;

- среднюю длину очереди и среднее время ожидания начала обслуживания;

- вероятность заявки каждого из каналов (ТО-1, ТР, НР или КР).

И самое главное спроектировать и построить РОП такой производственной мощности, которая бы соответствовала спросу на услуги в данной географической точке, а для клиентов стала на долгие годы привлекательной привычкой посещать принадлежащую вам РОП.