3. Динамика Законы динамики
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Материальными объектами в динамике являются материальная точка (точка, обладающая массой), абсолютно твердое тело и механическая система материальных точек или тел. При изучении движения тел в динамике, в отличие от кинематики, принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел. Количественной мерой инертности тела при поступательном движении является масса тела. В классической (теоретической) механике масса тела предполагается величиной скалярной, положительной, постоянной и не зависящей от скорости тела. В основу динамики положены законы Галилея-Ньютона, являющиеся обобщением практической деятельности человека и проверяемые на опыте. Законы динамики описывают механическое движение материальных тел по отношению к неподвижным осям и по отношению к инерциальным осям. Инерциальные оси движутся относительно неподвижных осей поступательно, равномерно и прямолинейно. При движении многих задач техники оси, связанные с Землей считают неподвижными.
Первый закон динамики (закон инерции). Материальная точка, изолированная от действия каких-либо других материальных тел, сохраняет относительно неподвижной системы отсчета состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. В этих случаях ускорение точки равно нулю. Такое кинематическое состояние точки называется инерциальным, а ускорение точки равно нулю.
Второй (основной) закон динамики. Произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы
.
(3.1)
На основании второго закона динамики устанавливается связь между массой тела и его весом:
,
(3.2)
где
= 9,81 м/с²
– ускорение свободного падения.
При
одновременном действии на точку
нескольких сил
уравнение, выражающее основной закон
динамики в векторной форме, с учетом
равенства (2.4) принимает вид
.
(3.3)
Проектируя
обе части равенства (3.3) на оси
,
получим:
,
,
.
(3.4)
Уравнения (3.4) являются дифференциальными уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах.
Аналогично получим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси:
,
,
,
(3.5)
где
согласно (2.15) – (2.16)
− касательное, а
−
нормальное ускорения.
Третий закон динамики. Всякое действие вызывает равное и прямо противоположное противодействие. Отметим, что этот закон был сформулирован ранее как третья аксиома статики.
Две основные задачи динамики точки
Первая задача динамики точки. Зная закон движения точки, найти действующую на точку силу. Если заданы уравнения движения точки в координатной форме (2.5) или в естественной форме (2.11), то путем дифференцирования можно найти составляющие ускорения точки, а затем, используя второй закон динамики, определить действующую на точку силу.
Вторая задача динамики точки. Зная приложенные к точке силы, определить закон движения точки. Вторую задачу динамики рекомендуется решать в следующем порядке:
Выбрать систему координат;
Записать начальные условия движения точки;
Изобразить на рисунке точку, смещенную относительно начала координат;
Изобразить на рисунке приложенные к точке силы;
Составить дифференциальные уравнения движения точки;
Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений;
Определить постоянные интегрирования через начальные условия и определить искомые величины.
Так как силы, действующие на точку, могут быть постоянными, зависящими от времени, скорости или координаты, то дифференциальные уравнения следует преобразовать к уравнениям с разделенными переменными.