Плоское движение твердого тела

Плоским (или плоскопараллельным) называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной неподвижной плоскости.

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо, произвольное движение книги по поверхности стола и т.д. Отметим, что при исследовании плоского движения книги достаточно определить движение одного ее листа.

Пусть тело (рис. 2.8) движется параллельно плоскости . В этом случае для исследования движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости , параллельной плоскости , сечение этого тела (рис. 2.9). Положение плоской фигуры S в сечении определяется положением какого-нибудь проведенного отрезка АВ на этой фигуре. В свою очередь, положение отрезка АВ можно определить, зная координаты точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью . Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

Уравнения

, , , (2.29)

определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоское движение можно рассматривать как составное движение, состоящее из поступательного движения фигуры с полюсом A и

вращения фигуры вокруг этого полюса.

Первые два уравнения в (2.29) определяют поступательное движение плоской фигуры с полюсом А, а третье уравнение – вращение фигуры вокруг полюса А. Можно доказать, что вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Пусть и радиусы-векторы точек А и В плоской фигуры, причем (рис. 2.10). Будем считать точку А полюсом. Отметим, что полюсом, как правило, считают точку, скорость и ускорение которой известны. По определению (2.2) скорость точки А

,

а скорость точки В . (2.30)

Таким образом, скорость произвольной точки тела при плоском движении геометрически складывается из скорости полюса в поступательном движении твердого тела и скорости, с которой эта точка вместе с телом вращается вокруг полюса.

Вектор и численно равен , где ω – угловая скорость плоской фигуры. Проектируя обе части равенства (2.30) на отрезок прямой АВ (рис.2.11), находим

. (2.31)

Проекции скоростей двух точек тела на отрезок прямой, соединяющий эти точки, равны.

При плоском движении в каждый момент времени существует точка скорость которой равна нулю ( ). Такая точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Движение плоской фигуры можно рассматривать как мгновенный поворот ее вокруг точки Р. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей: ; , где ω – угловая скорость плоской фигуры в данный момент времени. Чтобы

н айти скорость некоторой точки С плоской фигуры (на рис. 2.12 она не показана), нужно соединить точку С с точкой Р и направить перпендикулярно к отрезку РС вектор скорости в сторону мгновенного поворота вокруг точки Р. Величина скорости будет . Иллюстрация этого правила для случая, когда векторы скоростей разных точек плоской фигуры параллельны, показана на рис. 2.13.

Е сли перпендикуляры, восставленные к векторам и , не пересекаются, то скорости всех точек плоской фигуры в данный момент времени одинаковы ( ), угловая скорость (рис.2.14). Такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным.

При качении колеса по неподвижной поверхности мгновенным центром скоростей является точка сцепления колеса с поверхностью (рис. 2.15). Если радиус колеса и скорость центра колеса известны, то можно определить мгновенную угловую скорость и скорости других точек: ; , .