Общие теоремы динамики Теорема об изменении количества движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен этот вектор так же, как и скорость точки, т.е. по касательной к траектории. Единицей измерения количества движения является 1 ·м/с = 1 Н·с.

Количеством движения механической системы называется векторная сумма количеств движений всех точек системы:

. (3.23)

Установим связь между количеством движения системы и скоростью центра масс механической системы. Возьмем производную по времени от обеих частей второго уравнения (3.10)

или .

Сравнивая это уравнение с (3.23), получаем

. (3.24)

Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Докажем теорему об изменении количества движения материальной точки. Основной закон динамики точки (3.3) представим в виде или, разделив переменные, можно записать

. (3.25)

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость , а в момент – скорость . Возьмем от выражения (3.25) определенные интегралы:

.

Величина называется элементарным импульсом силы , а величина – импульсом силы за промежуток времени . После интегрирования получим теорему об изменении количества движения точки в интегральной форме:

. (3.26)

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Докажем эту теорему для механической системы. Возьмем от левой и правой частей (3.23) производные по времени: . Учитывая (3.11), получим теорему об изменении количества движения механической системы:

. (3.27)

Производная по времени от количества движения системы равна сумме действующих на систему внешних сил.

Интегрируя уравнение (3.27), получим выражение теоремы в интегральной форме:

или . (3.28)

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении момента количества движения системы

М оментом количества движения точки относительно некоторого центра называется векторная величина , определяемая равенством

. (3.29)

Здесь выражение в квадратных скобках − векторное произведение радиус-вектора на вектор количества движения движущейся точки . Получается, что вектор , проходящий через центр , направлен перпендикулярно плоскости, образованной векторами , . Определение (3.29) аналогично определению момента силы (1.4).

Вычислим от равенства (3.29) производную по времени:

В полученном выражении , как векторное произведение двух параллельных векторов. Согласно (1.4) справедливо равенство . В результате, получается

. (3.30)

Доказана теорема моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Определим момент количества движения (кинетический момент) твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Считаем, что тело состоит из материальных точек. Выберем произвольную точку K, отстоящей от оси на расстоянии . Момент количества движения точки K относительно оси будет . Кинетический момент вращающегося тела относительно оси : . Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси (3.14), следовательно

. (3.31)

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.

Докажем теорему моментов для механической системы. Выражение (3.30) для – ой точки системы можно записать так:

где и – равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на точку. Для механической системы

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Учитывая, что кинетический момент системы относительно центра , получим

. (3.32)

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна сумме моментов внешних сил относительно того же центра.

Проектируя обе части (3.32) на ось , получим

. (3.33)

Для вращающегося твердого тела выполняется равенство (3.31), поэтому выражение (3.33) можно представить в другом виде:

или

. (3.34)

Уравнение (3.34) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции твердого тела относительно оси на угловое ускорение ( ) тела, вращающегося вокруг оси , равно сумме моментов внешних сил относительно той же оси .