Приведение произвольной системы сил к данному центру

Лемма Пуансо. Пусть сила приложена в точке А твердого тела. Выберем точку В (рис. 1.20,а), не лежащую на линии действия силы . Приложим в точке В уравновешенную систему сил , полагая , , (рис.1.20,б). Система сил образует пару, момент которой равен произведению одной из сил или на плечо : .

Далее заменим силы и моментом (рис. 1.20,в). Окончательно получаем, что силу можно перенести параллельно в любую точку, не лежащую на линии ее действия, добавляя при этом пару сил с моментом, равным произведению одной из сил пары на плечо.

Сформулируем и докажем основную теорему статики.

Пусть на абсолютно твердое тело действует произвольная система сил (рис. 1.21). Выберем произвольную точку О, которую назовем центром приведения. Перенесем параллельно силы в этот центр. Согласно лемме Пуансо, получим систему сходящихся в центре О сил и систему пар сил , моменты которых равны моментам исходных сил относительно центра О: . Векторную сумму перенесенных в центр О сил назовем главным вектором

. (1.9)

Векторную сумму системы присоединенных пар сил назовем главным моментом

. (1.10)

Таким образом, любую систему сил, приложенных к абсолютно твердому телу можно заменить одной силой , равной главному вектору, и одной парой сил с моментом , равным главному моменту исходной системы сил относительно центра О.

Теорема доказана. Заметим, что выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора , но влияет на модуль и направление главного момента .

Уравнения равновесия системы сил

Если твердое тело находится в равновесии при действии произвольной пространственной системы сил, то главный вектор и главный момент этой системы сил обращаются в ноль:

, (1.11)

Проектируя эти равенства на оси координат, получаем:

, , ,

, , . (1.12)

Уравнения (1.12) называются уравнениями равновесия произвольной пространственной системы сил. Таким образом, при равновесии произвольной пространственной системы сил можно составить шесть независимых уравнений.

Рассмотрим частные случаи равновесия системы сил.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил было сформулировано ранее.

Для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенной к твердому телу в плоскости , необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на оси , и алгебраическая сумма моментов относительно произвольного центра были равны нулю:

, , . (1.13)

Уравнения (1.13) называются основными уравнениями равновесия произвольной плоской системы сил. Существуют еще две системы уравнений равновесия – системы (1.14) и (1.15):

, , , (1.14)

, , . (1.15)

При этом в системе (1.14) отрезок прямой, соединяющий точки А и В, не должен быть параллелен оси , а в системе (1.15) точки А,В и С не должны находиться на одной прямой.