Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетической энергией материальной точки k называется скалярная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости . Кинетической энергией механической системы называется арифметическая сумма кинетических энергий всех точек системы

. (3.35)

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тел в разных случаях движения.

Поступательное движение. В этом случае скорости всех точек тела одинаковы , где скорость центра масс тела.

. (3.36)

Вращательное движение. Скорость –ой точки тела , где расстояние точки до оси вращения.

, (3.37)

где момент инерции тела относительно оси вращения .

Плоское движение. Из кинематики известно, что плоское движение в некоторый момент времени можно рассматривать как мгновенный поворот тела вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей.

В этом случае . Пусть точка – центр масс. По теореме Гюйгенса-Штейнера (3.22): . Кинетическая энергия тела при плоском движении

. (3.38)

Здесь момент инерции тела относительно центральной оси, скорость центра масс, мгновенная угловая скорость, – масса тела.

Докажем теорему об изменении кинетической энергии для материальной точки. Запишем второй закон Ньютона в проекции на касательную (3.5): . Касательное ускорение . Следовательно, закон Ньютона примет вид

или , (3.39)

где элементарная работа силы на перемещении точки . Элементарную работу можно записать иначе:

· . (3.40)

Здесь · скалярное произведение векторов, радиус-вектор точки .

Поскольку , то аналитическое выражение элементарной работы силы :

. (3.41)

Проинтегрировав (3.39) в пределах изменения переменных в точках и , найдем окончательно

. (3.42)

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в интегральной форме: изменение кинетической энергии точки на некотором ее перемещении равно сумме работ приложенных сил на том же перемещении.

Для произвольной точки механической системы выражение (3.42) имеет вид: . Для всей системы . Если обозначить кинетическую энергию всей системы в ее начальном положении

, а в конечном положении , то

. (3.43)

Уравнение (3.43) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил. Отметим, что в общем случае сумма работ внутренних сил не равна нулю. Для абсолютно твердого тела , так как расстояния между любыми точками тела не изменяются.

Работа силы тяжести. Пусть точка переместилась под действием силы тяжести из положения в положение (рис. 3.7). По формуле (3.41) найдем элементарную работу силы : Полная работа силы на перемещении будет или

, (3.44)

г де − высота, на которую опустилась точка. Таким образом, работа силы тяжести положительна, когда точка опускается, и отрицательна, когда точка поднимается.

Работа силы упругости пружины. Пусть груз прикреплен к пружине жесткости с (рис. 3.8). Выберем начало координаты в положении , при котором пружина не деформирована (ее длина равна l ), и определим работу силы упругости пружины при перемещении ее нижнего конца из начального положения в конечное положение . Пусть λ , λ начальная и конечная деформации пружины. Согласно закону Гука . Проекции силы на оси координат: . Элементарная работа . Полная работа

– λ –λ ) или = (λ –λ ). (3.45)

Работа силы упругости положительна, если начальная λ деформация пружины больше конечной λ .

Работа силы трения скольжения. Пусть тело перемещается по наклонной шероховатой плоскости из положения в положение . Действующая на тело сила трения , где – нормальная реакция плоскости, – коэффициент трения скольжения. Сила трения направлена противоположно перемещению тела, поэтому работа силы трения отрицательна. Если считать силу трения во время движения постоянной, то

= = – . (3.46)

В данном случае , , следовательно

.

Работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Для тела, вращающегося вокруг оси , элементарная работа приложенной к телу силы равна , где модуль касательной составляющей силы , – элементарный угол поворота тела вокруг оси . Нетрудно заметить, что – момент силы относительно оси вращения . Будем называть величину вращающим моментом. Тогда элементарная работа . При повороте на конечный угол работа

, (3.47)

а в случае постоянного момента из (3.47) следует .