Введение в механику системы

Систему материальных точек или тел, движение которой рассматривается, называют механической системой. В статике действующие на механическую систему силы разделяют на активные и реакции связей . В динамике чаще разделяют силы на внешние и внутренние (индексы и от латинских exterior – внешний и interior – внутренний). Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной механической системы. Внутренними называют силы, с которыми точки или тела данной системы действуют друг на друга.

Отметим два свойства внутренних сил:

1. Главный вектор всех внутренних сил равняется нулю ( = 0).

Выберем две произвольные точки , механической системы и некоторый неподвижный центр О (рис.3.1). Силы взаимодействия этих точек обозначим через и . Согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия, , или . Рассуждая аналогично, для всех точек системы, получим

(3.6)

2. Главный момент всех внутренних сил механической системы относительно произвольного центра равняется нулю ( ). Найдем сумму моментов сил и относительно центра О. По определению (1.4), с учетом того, что , получаем:

. Здесь и – радиус-векторы точек и (рис. 3.1). Векторы и направлены по одной линии, поэтому их векторное произведение . Следовательно, . Для всех точек системы

(3.7)

Центр масс системы

Масса механической системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

. (3.8)

Для тел, находящихся вблизи поверхности Земли, вес материальных точек или тел . Преобразуем формулы (1.20), определяющие координаты центра тяжести тела, к виду:

; ; . (3.9)

В полученные формулы входят массы материальных точек, образующих тело или механическую систему, координаты материальных точек, масса М системы и координаты точки С. Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (3.9), называется центром масс или центром инерции механической системы, а оси, с началом в точке С, называются центральными осями. Таким образом, при расчетах можно считать, что центр масс совпадает с центром тяжести механической системы.

Формулы (3.9) эквивалентны одному векторному выражению:

, (3.10)

где − радиус-вектор, определяющий положение – ой точки; − радиус-вектор, определяющий положение центра масс механической системы.

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек. Выберем произвольную точку системы. На нее действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующие этих сил и (рис. 3.2).

Второй закон Ньютона для всех точек системы записывается в следующем виде: . Учитывая свойство внутренних сил (3.6), получим дифференциальное уравнение движения механической системы в векторной форме:

или . (3.11)

В проекциях на оси координат это уравнение будет иметь вид

, , . (3.12)

Теорема о движении центра масс. Дважды продифференцировав по времени уравнение (3.10), находим

или . Учитывая (3.11), получим

. (3.13)

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно векторной сумме всех действующих на систему внешних сил. По внешнему виду это уравнение напоминает уравнение движения точки. Отличие состоит в том, что материальной точкой центр масс не является. Поэтому теорема о движении центра масс системы формулируется так: центр масс механической системы движется как материальная точка, к которой приложены действующие на систему все внешние силы, а масса точки равна массе всей системы.

Из уравнения (3.13) следует, что движение центра масс возможно только при наличии внешних сил, внутренние же силы не могут изменить положения центра масс. Внутренние силы иногда являются причиной появления внешних сил. Например, внутренняя сила, приводящая в движение ведущее колесо автомобиля, вызывает действие на колесо внешней силы сцепления с дорогой, которая «толкает» автомобиль. Если дорогу принять за абсолютно гладкую плоскость, то сила сцепления равна нулю, и колесо будет двигаться таким образом, что его центр масс останется неподвижным (явление пробуксовки).

Отметим, что уравнение (3.13) является также дифференциальным уравнением поступательного движения твердого тела. Действительно, при поступательном движении ускорения всех точек в каждый момент времени одинаковы и, следовательно, равны ускорению центра масс тела, которое определяется теоремой о движении центра масс.

Рассмотрим частные случаи.

а) Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю: Тогда из уравнения (3.13) следует, что и . Следовательно, при отсутствии внешних сил центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.

б) Если при отсутствии внешних сил в начальный момент времени центр масс был в покое, то он и останется в покое:

, .