2.8. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) в одном направлении

Для полного суждения о прочности материала необходимо уметь определять напряжения, действующие по любому наклонному сечению растянутого (сжатого) элемента (рис. 2.6).

а)

б)

в)

Рис. 2.6.

Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня считаем известными (например, ).

Определим напряжения, возникающие в наклонном сечении ВС, нормаль к которому повернута на угол α к направлению . За положительное направление отчетов угла α примем направление, обратное движению часовой стрелки.

Обозначим: А – площадь сечения, перпендикулярного оси стержня; – площадь наклонного сечения, при этом

(2.1).

В общем случае в наклонном сечении могут действовать нормальные, и касательные напряжения. Их значения найдем из условия равновесия отсеченной, например нижней, части (рис. 2.6, б). Проецируем силы на направление

. (2.2).

Используя соотношение (2.1), найдем

(2.3).

Проецируя силы на направление , получаем

откуда

(2.4)

При положительном значении (т. е. растягивающем) и при 0 ≤ α ≤ 90° получим положительное значение для . Это означает, что касательное напряжение будет направлено так, как изображено на рис. 2.6, б.

Данное направление касательного напряжения характеризуется тем, что внешнюю нормаль n к площадке для совпадения с касательным напряжением необходимо поворачивать по часовой стрелке.

Касательные напряжения такого направления принято считать положительными. Если же нормаль к площадке для совпадения с касательным напряжением необходимо поворачивать против часовой стрелки, то касательное напряжение считается отрицательным (рис. 2.6, в).

Из формулы (2.3) следует, что максимального значения нормальные напряжения достигают при = 0, т. е. в сечении, перпендикулярном оси стержня.

Из формулы (2.4) следует, что при = 0 касательное напряжение равно нулю.

Из формул (2.3) и (2.4) видно, что при = 90° =0 и = 0.

Таким образом, в продольных сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.

Площадки, на которых нет касательных напряжений, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по главным площадкам,  главными напряжениями. Следовательно, нормальное напряжение в поперечном сечении растянутого или сжатого стержня есть главное напряжение.

Из формулы (2.4) видно также, что максимальное касательное напряжение имеет место в сечении под углом =45° и равно половине главного напряжения:

(2.5)

2.9. Закон парности касательных напряжений

Определим нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Для площадки, наклоненной под углом по формулам (2.3) и (2.4) имеем:

Для взаимно перпендикулярной площадки при значении угла нормальные и касательные напряжения можно определить или непосредственно из условия равновесия верхней или нижней части стержня (рис. 2.6, в), или по формулам (2.3) и (2.4) с заменой на

Применяя формулы (2.3) и (2.4), получим:

(2.6)

(2.7)

Анализируя полученные результаты, видим, что, во-первых,

т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постояна и равна главному напряжению, во-вторых,

т. е. на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения (закон парности или взаимности касательных напряжений).

Закон парности (взаимности) касательных напряжений имеет силу не только для одноосного, но и для любого другого напряженного состояния: двухосного и объемного.