7.2. Изгиб с растяжением (сжатием)

На рис. 7.3 изображена балка, которая испытывает совместное действие изгиба и центрального растяжения. Поперечная нагрузка, вызывающая изгиб, может быть и более сложной.

Рис. 7.3.

Для определения суммарных напряжений используем принцип независимости действия сил. Растягивающие напряжения от силы F₁₁ во всех точках поперечного сечения, как известно, равны и определяются по формуле

(7.15)

или в общем случае (при любой осевой нагрузке)  по формуле:

где N  продольная сила в рассматриваемом сечении. Напряжения от изгиба согласно формуле

Следовательно, суммарные напряжения в любой точке

(7.16)

В данном случае опасным является сечение у заделки, где действует наибольший изгибающий момент, равный М_maх = F₂ . В этом сечении наиболее нагруженными точками будут точки, расположенные на линии АВ, так как в них суммируются напряжения от растяжения и наибольшие растягивающие напряжения от изгиба . В точках линии DC напряжения будут меньше:

(7.17)

Для стержней, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности имеет вид

(7.18)

Если поперечная нагрузка сложная, то для определения опасного сечения и максимального изгибающего момента необходимо предварительно построить эпюру изгибающих моментов.

Полученные соотношения справедливы и при действии сжимающей силы, только напряжение будет отрицательным и наибольшие (по модулю) напряжения будут в точках на линии DC. Необходимо отметить, что при действии сжимающей силы, приведенные выше формулы действительны только для стержней большой жесткости, т. е. таких, для которых влияние осевой сжимающей силы на деформацию изгиба незначительно и может не учитываться.

В случае сочетания растяжения с косым изгибом напряжения определяют по формуле

(7.19)

Для стержней из материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие с поперечными сечениями, имеющими угловые точки, равноудаленные от главных осей х и у (типа прямоугольника, двутавра и т. п.), условие прочности имеет вид

(7.20)

Для стержней, изготовленных из материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие, проверка прочности должна производиться и по растягивающим, и по сжимающим напряжениям.

7.3. Внецентренное сжатие (растяжение)

Весьма часто продольная нагрузка бывает приложена не в центре тяжести поперечного сечения стержня, а с некоторым смещением (эксцентриситетом) относительно главных осей сечения (рис. 7.4 а).

а)

б)

Рис. 7.4

Применив метод сечений, обнаружим в любом поперечном сечении стержня продольную силу N = F и изгибающие моменты, равные относительно оси и относительно оси

Поэтому напряжение в любой точке поперечного сечения с координатами х и у определяется, как при осевом растяжении и изгибе в двух плоскостях, т. е. по формуле, аналогичной формуле (7.18):

(7.12)

Для сечений, имеющих выступающие угловые точки, экстремальные напряжения определяют по формуле

(7.22)

где W_x и W_y  моменты сопротивления относительно осей X, Y.

В сечении, показанном на рис. 7.4 б, наибольшие напряжения будут в точке Е, так как здесь суммируются растягивающие напряжения от центрального растяжения и растягивающие напряжения от изгиба в двух плоскостях:

(7.23)

Наименьшие (в алгебраическом смысле) напряжения будут в точке D:

(7.24)

При этом они могут получиться как растягивающими, так и сжимающими.

Условие прочности по растягивающим напряжениям имеет вид

(7.25)

Если точка приложения силы находится на одной из главных осей сечения, например, на оси у, то предыдущая формула упрощается:

(7.26)

При произвольной форме поперечного сечения для определения положения опасных точек необходимо найти положение нулевой линии. Уравнение нулевой линии получим, приравняв напряжение нулю:

(7.27)

где x ₀ и y₀  текущие координаты точек нулевой линии.