4.2. Определение напряжений в стержнях круглого сечения
Крутящие моменты, о которых шла речь выше, представляют лишь равнодействующие внутренних сил. Фактически в поперечном сечении скручиваемого стержня действуют непрерывно распределенные внутренние касательные напряжения, к определению которых теперь и перейдем.
Рис. 4.4. Рис. 4.5.
Ознакомимся прежде всего с результатами опытов. Если на поверхности стержня круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 4.4):
1) прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений и в продольных его сечениях;
2) расстояния между окружностями, например между I и II, не изменятся. Не изменятся длина стержня и его диаметр. Естественно допустить, что каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Можно считать, что радиусы всех поперечных сечений будут поворачиваться на разные углы, оставаясь прямолинейными.
На основании этого можно принять, что при кручении в поперечных сечениях стержня действуют только касательные напряжения.
Для установления закона распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня рассмотрим более детально деформации стержня (рис. 4.4 и 4.6). На рис. 4.6 в более крупном масштабе изображена часть стержня между сечениями I и II и показана одна сторона KN элемента KLMN (см. рис. 4.4).
Угол сдвига для элемента KLMN, лежащего на поверхности стержня, равен отношению отрезка NN' к длине элемента dz (рис. 4.6):
(4.1)
Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса и повторяя те же рассуждения, получим угол сдвига для элемента, отстоящего на расстоянии от оси стержня:
(4.2)
На основании закона Гука при сдвиге имеем
(4.3)
Как видим, при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.
Рис. 4.6.
Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рис. 4.5 справа.
В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точках сечения, расположенных у поверхности стержня.
Зная закон распределения касательных напряжений, легко определить их из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:
(4.4)
где
элементарный крутящий момент внутренних
сил, действующих на площадке dA.
Подставив в (4.4) значение напряжений из формулы (4.3), получим
.
(4.5)
Имея в виду, что
(4.6)
где полярный момент инерции сечения, получим
(4.7)
Подставляя значение
в
формулу
(4.3), имеем
(4.8)
Таким образом, окончательная формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид
(4.9)
Как видно из этой формулы, в точках одинаково удаленных от центра сечения, напряжения одинаковы.
Наибольшие напряжения в точках у контура сечения:
(4.10)
(4.11)
Геометрическая характеристика Wp называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.
Условие статической прочности вала при кручении имеет вид
(4.12)
здесь
допускаемое касательное напряжение.
Кроме проверки прочности по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных остальных величинах.
Имея в виду, что для круглого сплошного сечения Wp = 0,2d3, получаем
(4.13)
Допускаемый из условия – прочности крутящий момент определяют по формуле
(4.14)