2.7. Статически неопределимые задачи
Задачи на расчет конструкций, в элементах которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми.
Для решения таких задач, помимо уравнений равновесия составляют уравнения перемещений или деформаций.
Изменение температуры деталей вызывает изменение их размеров, в результате чего в статически неопределимых системах возникают дополнительные напряжения, называемые температурными.
Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной жестко защемленный по концам (рис. 2.4). При нагревании в стержне возникнут температурные напряжения сжатия. Определим эти напряжения. Составим для стержня уравнение равновесия:
откуда получим,
что реакции
и
равны.
Применив метод сечений, установим, что
продольная сила
N
в сечениях стержня равна неизвестным
реакциям:
Составим
дополнительное уравнение, для чего
мысленно отбросим правую заделку и
заменим ее реакцией
,
тогда уравнение деформаций будет иметь
вид
(т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции Rb, так как связи полагаются абсолютно жесткими).
Рис. 2.4.
Температурное
удлинение
где
–
коэффициент линейного расширения
материала стержня; укорочение под
действием реакции
Приравняем правые части этих равенств:
откуда
Определим температурные напряжения:
Для того чтобы, температурные напряжения не достигали значительных величин, один конец моста ставят на катки. В длинных трубопроводах, подвергающихся изменению температуры, делают компенсирующие устройства и т. д.
Пример. Абсолютно
жесткая балка, изображенная на рис.
2.5, шарнирно
закреплена в стене и подвешена
горизонтально на двух шарнирно
закрепленных, вертикально расположенных
стальных стержнях равной длины L
=
2 м. В
точке D
на балку действует сила F
= 20
кН. Площади поперечных сечений стержней
равны:
=
3
см2,
=
6 см2.
Модуль упругости материала стержней Е
= 2
.105
МПа, сила тяжести балки G
= 40
кН. Определить напряжения в стержнях
1
и
2.
Рис. 2.5.
Решение.
Рассматривая равновесие балки, отбросив
связи и заменяя
их реакциями,
получаем три неизвестных: реакцию
шарнира А
и реакции
и
стержней
1
и
2.
Для данной системы параллельных сил можно составить лишь два уравнения равновесия: уравнение проекций сил на вертикальную ось и уравнение моментов относительно какой-либо точки; следовательно, система статически неопределима.
Для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение перемещений элементов конструкции, для чего изобразим ее в деформированном виде. Из подобия треугольников АСС' и ABB' получаем
отсюда
Составим уравнение моментов относительно точки А:
Упрощая последнее уравнение, получаем
По закону Гука
Разделим второе равенство на первое:
Разделим второе равенство на первое:
так
как,
а
то
откуда
Находим
и
Отсюда
и
Определяем
напряжения
и
в стержнях:
