5.5. Дифференциальные зависимости при изгибе

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки легко установить определенную зависимость (рис. 5.7).

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой. Определим поперечную силу в сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии z. Проецируя на вертикаль силы, расположенные левее сечения, получаем Аналогично, вычислим поперечную силу в смежном сечении, расположенном на расстоянии z+dz от левой опоры

получаем

(5.1)

т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Рис. 5.7.

Вычислим теперь изгибающий момент, в сечении с абсциссой z взяв сумму моментов сил, приложенных слева от сечения. Для этого распределенную нагрузку на участке длиной z заменяем ее равнодействующей, равной qz и приложенной в середине участка, на расстоянии от сечения

Аналогично вычислим изгибающий момент в смежном сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии z+dz:

(5.2)

Вычитая изгибающие моменты в двух сечениях, получаем приращение изгибающего момента

(5.3)

Выражение в скобках представляет собой поперечную силу Q. Следовательно,

(5.4)

откуда

,

т.е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной cиле.

Взяв производную от обеих частей равенства (5.4), получим

(5.5)

т.е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

5.6. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Для наглядного представления о характере изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки и для нахождения опасных сечений строят эпюры M и Q. Технику построения этих эпюр разъясним на следующих примерах.

Пример. Построить эпюру М и Q для консольной балки (рис. 5.8 a).

Решение. Здесь два участка, (АВ и ВС), различающихся характером нагружения, а следовательно, и законами изменения М и Q.

а)

б)

в)

Рис. 5.8.

Изгибающий момент на участке АВ в сечении, взятом на расстоянии z₁ от точки А, найдем как момент левых сил, для чего распределенную нагрузку левее сечения заменяем ее равнодействующей qz₁ приложенной в середине участка длиной z₁. Получим

(5.6)

Знак минус взят потому, что балка изгибается выпуклостью вверх. Это уравнение параболы. Параболу построим приближенно по трем точкам:

(5.7)

Делаем сечение на участке ВС на расстоянии z₂ от свободного конца балки. Распределенную нагрузку на длине а₁, заменяем равнодействующей qa₁, приложенной в середине участка АВ. Момент в сечении

(5.8)

Это уравнение прямой. Вычисляем М_Z при двух значениях z:

Тогда получим

(5.9)

Эпюра М дана на рис. 5.8.

Поперечная сила в сечении / — / как сумма проекций на вертикаль левых от сечения сил равна .

Поперечная сила в сечении //—// равна Q = qa.

Эпюра Q представлена на рис. 5.8 в.