2.10. Определение напряжений в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) в двух направлениях

Рассмотрим общий случай плоского напряженного состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения ( на рис. 2.7 a).

Индексы у обозначений главных напряжений ставятся так, что соблюдается неравенство Положительный угол между направлением и нормалью к произвольной площадке будет отсчитываться против часовой стрелки.

Между направлением напряжения и площадкой угол равен

Напряжения и в произвольном наклонном сечении можно или определить из условий равновесия трехгранной призмы AВС (рис. 2.7 б), или вычислить по формулам (2.3) и (2.4), суммируя напряжения от действия с напряжениями от действия В результате получим

а) б) в) г)

Рис. 2.7.

откуда

(2.8)

Далее,

откуда

(2.9)

Из формулы (2.9) видно, что максимальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений:

. (2.10)

Частные случаи.

1-й случай. Рассмотрим напряженное состояние, при котором (рис. 2.7 в).

В этом случае на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, касательное напряжение равно нулю, а нормальное напряжение имеет одно и то же значение Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением (или сжатием).

2-й случай. Рассмотрим напряженное состояние, представленное на рис. 2.7 г, характеризующееся главными напряжениями и При этом

Определим напряжения в сечениях, одинаково наклоненных к направлениям и , то есть при и

По формулам (2.8) и (2.9) получим , такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

2.11. Определение главных напряжений и положения главных площадок

Рассмотрим обратную задачу. Даны нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элемента (рис. 2.8 а). Требуется определить положение главных площадок и значения главных напряжений. Рассмотрим равновесие трехгранной призмы с основанием ABC (рис. 2.8 б). Примем, что Угол будем отсчитывать от направления большего напряжения до нормали к площадке. За положительное направление отсчётов угла примем направление против часовой стрелки. Площадь наклонной грани обозначим dA. Тогда площадь вертикальной грани будет , а горизонтальной  .

Проецируя все силы на направление , получим

Проецируем теперь все силы на направление :

Сократив на dA и введя функции двойных углов, получим:

(2.11)

(2.12)

а) б)

Рис. 2.8.

При изменении угла наклона площадки величина непрерывно меняется. Для отыскания положения главных площадок следует приравнять производную нулю, тогда получим

.

После преобразования получим

(2.13)

С использованием функций двойного угла получим формулы для определения главных напряжений:

(2.14)

Касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

2.12. Зависимость между деформациями и напряжениями при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)

Определим деформации и в направлениях главных напряжений при плоском напряженном состоянии (рис. 2.9). Для этого используем закон Гука для одноосного напряженного состояния.

Рис. 2.9.

От действия одного напряжения относительное удлинение по вертикали равно

(2.15)

и одновременно в горизонтальном направлении относительное сужение равно

(2.16)

От действия одного только имели бы в горизонтальном направлении удлинение и в вертикальном направлении – сужение : ( – коэффициент поперечной деформации).

Суммируя деформации, получаем

(2.17)

Эти формулы выражают обобщенный закон Гука для плоского напряженного состояния.

Если известны деформации и то, решая уравнения  (2.17) относительно напряжений и получим следующие формулы:

(2.18)

Аналогично, для объемного (пространственного) напряженного состояния, когда все три главных напряжения отличны от нуля, получим

(2.19)

Уравнения (2.19) представляют собой обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния. Деформации в направлении главных напряжений называются главными деформациями.

Зная , можно вычислить изменение объема при деформации. Возьмем кубик 111 см. Объем его до деформации =1 см³. Объем после деформации (произведениями как величинами малыми по сравнению с самими ε, пренебрегаем).

Относительное изменение объема:

(2.20)

Подставив значения , получим:

(2.21)

Из формулы (2.20) следует, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5.