5.2. Определение опорных реакций

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Определить опорные реакции консольной балки (рис. 5.3 а).

Решение. Реакцию заделки представляем в виде двух сил А_z, и А_y, направленных, как указано на чертеже, и реактивного момента

а) б)

Рис. 5.3.

Составляем уравнение равновесия балки.

1. Приравняем нулю сумму проекций на ось Z всех сил, действующих на балку: . Получаем A_z = 0, при отсутствии горизонтальной нагрузки горизонтальная составляющая равна нулю.

2. То же, на ось Равномерно распределенную нагрузку q заменяем равнодействующей приложенной посередине участка

откуда

Вертикальная составляющая реакции в консольной балке равна сумме сил, приложенных к балке.

3. Составляем третье уравнение равновесия. Приравняем нулю сумму моментов всех сил, относительно какой-нибудь точки, например, относительно точки A:

откуда

Знак минус показывает, что принятое вначале направление реактивного момента следует изменить на обратное. Итак, реактивный момент в заделке равен сумме моментов внешних сил относительно заделки.

Пример 2. Определить опорные реакции двухопорной балки (рис. 5.3 б). Такие балки обычно называют простыми.

Решение. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то Az = 0

5.3. Определение внутренних усилий при изгибе

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внутренних усилия (внутренних силовых фактора)  изгибающий момент М и поперечная сила Q. Для их определения применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например на расстоянии z от левой опоры (рис. 5.4 а). Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части.

Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями: изгибающим моментом М и поперечной силой Q (рис. 5.4 б).

Для определения М и Q используем два уравнения равновесия:

а)

б)

Рис. 5.4.

Таким образом,

1) поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

2) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической - сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

5.4. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил

Поперечная сила в сечении балки m-n (рис. 5.5 а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа  сверху вниз, и отрицательной  в противоположном случае (рис. 5.5 б);

а) б)

Рис. 5.5.

Изгибающий момент в сечении балки, например в сечении m-n (рис. 5.6 а), считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа  против часовой стрелки, и отрицательным  в противоположном случае (рис. 5.5 б). Моменты, изображенные на рис. 5.6 а, изгибают балку выпуклостью вниз, а моменты, изображенные на рис. 5.6 б, изгибают балку выпуклостью вверх. Это можно легко проверить, изгибая тонкую линейку.

а) б)

Рис. 5.6

Отсюда следует другое, более удобное для запоминания правило знаков для изгибающего момента. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз.