2. Центральное растяжение и сжатие стержня

2.1. Напряжения и продольная деформация при растяжении и сжатии

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Брусья с прямолинейной осью (прямые брусья), работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют активные силы F и 2F (рис. 2.1).

Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными плоскостями, в которых приложены активные или реактивные силы, будем называть участками. Изображенный на рис. 2.1. брус состоит из двух участков. Применив метод сечений, определим продольные силы и на участках. Рассечем брус на первом участке поперечным сечением 1-1. Во всех точках бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса (например, правой от сечения):

откуда

Рис. 2.1.

Для равновесия оставленной части бруса в сечении 1-1 необходимо приложить только силу направленную вдоль оси, т. е. продольную силу. Продольная сила - есть равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса. В сечении 2-2 на втором участке продольная сила будет иметь другое значение

Таким образом, продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения (имеется в виду, что все силы направлены вдоль оси бруса).

Очевидно, что в пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Следует помнить, что, рассматривая равновесие части бруса, расположенной не справа, а слева от сечения, мы должны были ввести в уравнение равновесия реакцию защемленного конца, определенную путем рассмотрения равновесия всего бруса.

В дальнейшем растягивающие (направленные от сечения) продольные силы мы будем считать положительными, а сжимающие (направленные к сечению)  отрицательными.

При изучении ряда деформаций мы будем мысленно представлять себе брусья, которые состоят из бесчисленного количества волокон параллельных оси, и предполагать, что при деформации растяжения и сжатия волокна не надавливают друг на друга (это предположение называется гипотезой о ненадавливании волокон).

Если изготовить прямой брус из резины (для большей наглядности), нанести на его поверхности сетку продольных и поперечных линий и подвергнуть брус деформации растяжения, то можно отметить следующее:

1. поперечные линии остаются в плоскостях перпендикулярными к оси, а расстояния между ними увеличатся;

2. продольные линии останутся прямыми, а расстояния между ними уменьшатся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что при растяжении справедлива гипотеза плоских сечений и, следовательно, все волокна бруса удлиняются на одну и ту же величину.

Все сказанное выше позволяет сделать вывод, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле:

где N  продольная сила; А  площадь поперечного сечения. Очевидно, что при растяжении и сжатии форма сечения на напряжение не влияет.

В сечениях, близких к точкам приложения растягивающих или сжимающих сил, закон распределения напряжений по сечению будет более сложным, но мы будем этим пренебрегать и будем считать, что во всех сечениях бруса напряжения распределены равномерно и что в сечении, где к брусу приложена вдоль оси сосредоточенная сила, значения продольной силы и напряжений меняются скачкообразно.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется то же правило знаков, что и для продольных сил.

Перейдем к рассмотрению деформаций. Представим себе прямой брус постоянного поперечного сечения А, длиной жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой F. Под действием этой силы брус удлинится на некоторую величину которую назовем абсолютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине назовем относительным удлинением и обозначим ε: