2. Число Рейнольдса

Для характеристики режима движения жидкости Рейнольдс ввел безразмерный параметр , учитывающий влияние перечисленных выше факторов, называемый числом (или критерием) Рейнольдса.

R_е = υdρ/μ (1)

Так как μ/ρ = ν, формулу (1) можно записать в виде

R_е = υd/ ν (2)

Границы существования того или иного режима движения жидкости определяются двумя критическими значениями числа Рейнольдса: нижним Rе_кр.н и верхним Rе_кр.в. Значения скорости, соответствующие этим значениям числа Рейнольдса, также называют критическими. При Rе > Rе_{кр. в} – только турбулентный ; при Rе_{кр. н} < Rе < Rе_{кр. в} наблюдается неустойчивое состояние потока. Таким образом, для определения характера режима движения жидкости необходимо в каждом отдельном случае вычислить по формуле (2) число Рейнольдса и сопоставить результат с критическими значениями.

В опытах самого Рейнольдса были получены следующие значения:

Rе_{кр. н} = 2000, Rе_{кр. в} = 12000. Многочисленные эксперименты, проведенные в более позднее время, показали, что критические числа Рейнольдса не являются вполне постоянными и в действительности при известных условиях неустойчивая зона может оказаться значительно шире.

В настоящее время при расчетах следует исходить их одного критического значения числа Рейнольдса - Rе_{кр. в} = 2300. При Rе < 2300 режим всегда считается ламинарным, а при Rе > 2300 – всегда турбулентным. При этом движение жидкости в неустойчивой зоне исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности в гидравлических расчетах.

Без особого труда могут быть получены значения Rе также для сечения любой формы, не только круговой. Имея в виду, что при круговом сечении гидравлический радиус R = d/4, подставим в формулу (2) вместо d его значение, равное 4 R. Тогда получим формулу для числа Рейнольдса, выраженного через гидравлический радиус:

Rе = 4 υR/ ν, (3)

Откуда

Rе/4 = υR/ ν.

Принимая по прежнему для критического значения числа Рейнольдса независимо от формы живого сечения Rе_{кр. в} = 2300, необходим, что для сечения любой формы критерием для суждения о характере режима движения является величина, равная 2300/4 = 575. Таким образом, если υR/ ν < 575, режим ламинарный, если υR/ ν > 575, режим турбулентный.

Число Рейнольдса является одним из основных критериев гидродинамического подобия напорных потоков. Оно является как бы мерой отношения кинематической энергии жидкости к работе сил вязкого трения и от него в общем случае зависят все безразмерные коэффициенты, входящие в расчетные зависимости, которые применяют в практике гидравлических расчетов.

3. Элементы подобия гидродинамических процессов

Полученное число Рейнольдса Rе имеет большое значение в гидравлическое, а также в аэродинамике, т.к. является одним из основных критериев гидродинамического подобия. Гидродинамическое подобие – это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие, как известно из геометрии, означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подобием мы будем понимать подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки жидкости, т.е. подобие русел (рисунок 4).

Кинематическое подобие – это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей. Очевидно, что для кинематического подобия потоков требуется геометрическое подобие русел.

Динамическое подобие означает пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы кинематически подобных потоков, и равенство углов, характеризующих направление этих сил.

В потоках жидкостей обычно действуют разные силы – давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдения пропорциональности всех этих разнородных сил означает так называемое полное гидродинамическое подобие.

Рис. 4. Подобные потоки

Например, пропорциональность сил давления Р и сил трения Т, действующие на сходственные объёмы в потоках I и II, можно записать в виде

Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором имеется пропорциональность лишь основных сил. Для напорных течений в закрытых руслах, т.е. для потока в трубах, в гидромашинах и тому подобных, такими силами , как показывают расчёты, являются силы давления, вязкости и силы инерции. Последние, как это можно показать для подобных потоков, пропорциональны произведению динамического давления +на характерную площадь S. В самом деле, для частицы жидкости, один из размеров которой равен Δl сила равна произведению массы на ускорение, т.е.

где k –безразмерный коэффициент пропорциональности, зависящий от формы частицы;

ds –элементарный путь частицы.

Умножим и разделим последнее выражение на l² и v_ср², т.е. наряду с величинами, относящимися к частице, введём одноимённые величины, характеризующие поток в целом; в результате

,

Пять безразмерных множителей в выражении для ΔF имеют одинаковое значение для геометрически и кинематически подобных потоков и сходственных частиц. Следовательно, заменяя знак равенства знаком пропорциональности, для этих потоков можно записать

ΔF~ρυ_ср²l²,

Или, так как l²~S и ΔF~F, окончательно получим

F~ρυ_ср²S. (4)

Согласно уравнению(4) момент силы F

М~ρυ²Sl~ρυ²l³.

Для подобных потоков I и II

или

Последнее отношение, одинаковое для подобных потоков, называется числом Ньютона и обозначается Ne.

Заметим, попутно, что этому же произведению ρυ_ср²S в подобных потоках пропорциональны силы, с которыми поток воздействует (или способен воздействовать) на преграды: твёрдые стенки, лопасти гидромашин, обтекаемые потоком тела и т.д. Так, например, если поток жидкости наталкивается на безграничную стенку, установленную нормально к нему, и в результате, растекаясь по стенке, меняет своё направление на 90⁰, то на основании теоремы механики о количестве движения секундный импульс силы

Р = ρQυ = ρυ²срЅ (5)

Это и есть сила воздействия на преграду. При другом угле установки стенки или другой её форме и размерах вместо единицы будет другой её форме и размерах вместо единицы будет другой коэффициент пропорциональности.

Вначале рассмотрим наиболее простой случай. Напорное движение идеальной жидкости, т.е. такое движение, при котором отсутствуют силы вязкости. Для этого случая уравнение Бернулли для сечений 1-1 2-2 (см. рис. 4)

или

Здесь и далее p₁ и p₂ – приведенные давления, мы учитываем силу тяжести.

Для двух геометрически подобных потоков правая часть уравнения имеет одно и тоже значение, следовательно, левая часть тоже одинакова, т.е. разности давлений пропорциональны динамическим давлениям:

(6)

Таким образом, при напорном движении идеальной несжимаемой жидкости для обеспечения гидродинамического подобия достаточно одного геометрического подобия: Безразмерная величина, представляющая собой отношение разности давлений к динамическому давлению (или разности пьезометрических высот к скоростной высоте), называется коэффициентом давления или числом Эйлера и обозначается Еu.

В случае напорного движения в уравнении (6) под следует понимать разность приведенных давлений

При этом

Где разность статических напоров.

Посмотрим, какому условию должны удовлетворять те же геометрически подобные потоки, для того чтобы было обеспечено их гидродинамическое подобие при наличии сил вязкости, а следовательно, и потерь энергии, т.е. при каком условии числа будут одинаковыми для этих потоков.

Уравнение Бернулли для этого случая

или

(7)

Как видно из последнего уравнения, числа будут иметь одинаковые значения для рассматриваемых потоков, а сами потоки будут подобны друг другу гидродинамически при условии равенства коэффициентов сопротивления (равенства коэффициентов для сходственных сечений двух потоков следует из их кинематического подобия). Таким образом, коэффициенты в подобных потоках должны быть одинаковыми, а это значит, что потери напора для сходственных участков пропорциональны скоростным напорам

Рассмотрим очень важный в гидравлике случай движения жидкости – движение с трением в цилиндрической трубе, для которого

Для геометрически подобных потоков отношение одинаково, следовательно, условием гидродинамического подобия в данном случае является одинаковое значение для этих потоков коэффициента . Последний выражается через напряжение трения на стенке и динамическое давление следующим образом:

Следовательно, для двух подобных потоков I и II можно записать

(8)

т.е. напряжения трения пропорциональны динамическим давлениям.

Если использовать закон трения Ньютона и учесть, что в уравнении (8) обозначено ср , то предыдущие отношение, равные k, можно выразить

где индекс у=0 означает , что производная взята при у=0, т.е. у стенки трубы .

После умножения и деления на диаметр трубы d и перегруппировки множителей

Здесь через с обозначено выражение в квадратных скобках, представляющее собой безразмерный градиент скорости у стенки. Для кинематически подобных потоков величина с одинакова, поэтому после сокращения на с условие (8) динамического подобия потоков перепишем в виде

,

или, переходя к обратным величинам

Re_I=Re_II (9)

В этом заключается закон подобия Рейнольдса, который можно сформулировать следующим образом: для гидродинамического подобия геометрически и кинематически подобных потоков с учетом сил вязкости требуется равенство чисел Рейнольдса, подсчитанных для любой пары сходственных сечений этих потоков.

Из изложенного становится понятным, почему переход от одного течения к другому происходит при определенном Re, а также выясняется физический смысл Re для потока в трубе – это есть величина, пропорциональная отношению динамического давления к напряжению трения, или, что то же самое, отношение сил инерции к силам вязкости. Чем больше скорость и поперечные размеры потока, чем меньше вязкость жидкости , тем больше Re.

Для потока идеальной жидкости Re бесконечно велико, так как вязкость .

В тех случаях, когда движение жидкости является безнапорным и происходит под давлением разности нивелирных высот, условие подобия потоков формируется иначе. Здесь приходиться вводить иной критерий подобия – число Фруда, пропорциональное отношению сил инерции к силам тяжести. Однако для подавляющего большинства интересующих нас задач в области машиностроения этот критерий не имеет значения, и он рассматриваться не будет.