2. Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке при переменном напоре

Если при истечении жидкости из отверстия ее уровень Н_о в резервуаре станет непрерывно понижаться, а скорость истечения и расход жидкости уменьшиться, то получим случай неустановившегося движения, для которого уравнение Бернулли неприменимо. Поэтому при решении таких задач разделяют полное время истечения на бесконечно малые промежутки, в течении каждого из которых напор считают постоянным, а движение жидкости – независимым от времени, т.е. установившемся. Это позволит использовать для решения полученные при рассмотрении первого вопроса лекции зависимости и весьма просто приводит к достаточно точным результатам.

Рассмотрим простейший пример – истечение жидкости в атмосферу через донное отверстие площадью из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения Ω (рисунок 4) .

Элементарный объем жидкости dV, рошедший через отверстие за бесконечно малый промежуток времени dТ, будет

Рисунок 4.

где Н – глубина жидкости в сосуде для некоторого положения ее уровня, который приближенно можно полагать постоянным;

μ – коэффициент расхода.

В действительности, однако, за это же время уровень в жидкости в сосуде опускается на dH и объем жидкости в нем изменится на

dV= - ΩdH

Вследствие неразрывности движения

dV= - ΩdH

(знак «минус» здесь взят потому, что с течением времени Н уменьшается и, следовательно, будет отрицательным).

или

откуда

Полное время опорожнения сосуда определяется в результате интегрирования последнего уровня.

где:

Н_Н – глубина жидкости в сосуде до начала истечения.

Меняя пределы интегрирования в правой части, принимая допущения, что и вынося постоянные за знак интеграла, будем иметь

Т=

Что после интегрирования приведёт к следующему окончательному выражению:

Т=

Формула может быть представлена и в таком виде:

Т=

Если нужно определить время, необходимое для не полного опорожнения сосуда, а для понижения уровня жидкости в нём на некоторую величину от Н₁ до Н₂. При этом получим

Т=

Время в секундах полного опорожнения железнодорожной цистерны (рисунок 5) подсчитывается по следующей формуле:

Т= ,

Где d—диаметр цистерны;

L —длина цистерны.

Рисунок 5.

3. Истечение жидкости через насадки.

В первых двух вопросах лекции были рассмотрены различные случаи истечения жидкости из отверстия в тонкой стенке. При значительной толщине (см. рис. 2) характер явлений, наблюдаемых при истечении, существенно изменяется вследствие направляющего влияния, оказываемого на струю стенкой. Те же самые явления будут наблюдаться и при истечении из отверстия в тонкой стенке, снабжённой короткой трубкой того же диаметра, что и отверстие и имеющей длину, равную толщине стенки в первом случае. Такие трубки называются насадками и имеют весьма широкое применение на практике.

Наиболее распространёнными типами насадков являются:

1. цилиндрические насадки: внешний (рисунок 6а) и внутренний (рисунок 6б);

2. конические насадки сходящийся (рисунок 6в) и расходящийся (рисунок 6г);

3 . коноидальные насадки криволинейного очертания, имеющие форму сжатой струи (рисунок .6д).

Рисунок 6.

Рассмотрим истечение жидкости из внешнего цилиндрического насадка, представляющего собой короткую, обычно длиной ℓ=(3-4)d, цилиндрическую трубку, приставленную к отверстию в стенке сосуда (рисунок 7).

В этом случае струя жидкости после выхода из сосуда и входа в насадок подвергается некоторому сжатию

d _c=0,8d₀

Рисунок 7.

Затем постепенно расширяется и заполняет всё поперечное сечение насадка.

Сжатие струи здесь происходит только внутри (внутреннее сжатие), выходное же сечение насадка работает полностью, и поэтому коэффициент сжатия, отнесённый к выходному сечению, будет

Ε=1.

Многочисленными опытами, которые проводились над истечением жидкости из внешнего цилиндрического насадка, установлено значение коэффициента расхода

μ=0,82.

Сопоставляя эти значения со значением коэффициента расхода при истечении из отверстия в тонкой стенке, получаем

≈ .

Следовательно, расход жидкости при истечении из насадка будет примерно в 3-4 раза больше, чем при истечении из отверстия в тонкой стенке. Так как коэффициент расхода и коэффициент скорости для выходного сечения насадка численно равны между собой

0,82,

то коэффициент скорости оказывается значительно меньше, чем при истечении из отверстия.

Таким образом внешний цилиндрический насадок, увеличивая расход жидкости, вместе с тем даёт и значительное уменьшение скорости истечения. Объясняется это тем, что в месте сжатого сечения струи образуется кольцевое «мёртвое» пространство (рис.6а), заполненное жидкостью, находящейся в вихреобразном, круговом движении. Наличие последнего, в сочетании с явлением сжатия и последующего расширения струи и является основной причиной увеличения потерь напора, а следовательно, и уменьшения скорости истечения.

Если истечение происходит в атмосферу, то вследствие сжатия струи в начале насадка давление в «мёртвом» пространстве оказывается меньше атмосферного и в нём создаётся разряжение (вакуум). Благодаря вакууму насадок работает как своеобразный насос, дополнительно подсасывая жидкость; вот почему в этом случае, несмотря на увеличение потерь напора, расход жидкости увеличивается.

Внутренний цилиндрический насадок выполняется в виде трубки, приставленной к отверстию изнутри сосуда. В этом насадке, по сравнению с внешним, сопротивления, а следовательно и потери напора оказываются большими, так как ухудшаются условия подхода к насадку.

При длине насадка ℓ›2,5d жидкость заполняет всё выходное сечение насадка, коэффициент сжатия в этом сечении Е=1, а коэффициент скорости η=0,71.

При ℓ≤1,5d насадок работает неполным сечением и жидкость вытекает из отверстия, не касаясь стенок насадка, что приводит к значительному уменьшению расхода (μ=0,5).

В коническом сходящемся насадке, кроме явления внутреннего сжатия струи,

при выходе из насадка происходит второе (внешнее) сжатие, после чего жидкость течёт параллельными струйками. Благодаря незначительности внутреннего сжатия потери напора в этом насадке оказываются меньшими, чем в цилиндрических насадках, коэффициент скорости η - большим, а коэффициент сжатия , вследствие дополнительного сжатия в выходном сечении, меньшим.

Все коэффициенты истечения ( ) для конических насадков зависят от угла конусности . Опыт показывает, что в коническом сходящемся насадке коэффициент скорости все время возрастает с увеличением этого угла; коэффициент же расхода сначала увеличивается, достигая наибольшего значения при , а затем начинает убывать.

В конических расходящихся насадках струя жидкости при входе в насадок испытывает значительное сжатие, затем быстро расширяется и заполняет все сечение. Внешнего сжатия при выходе из насадка здесь нет, и, следовательно, коэффициент сжатия = 1. Однако, при угле конусности этот насадок перестает работать полным сечением, струя вытекает, не касаясь стенок, и истечение происходит как из отверстия в тонкой стенке.

Таким образом, в конических расходящихся насадках скорость в выходном сечении оказывается значительно меньшей, чем во всех предыдущих случаях. Причиной этого являются большие потери напора при резком сжатии и расширении струи в самом насадке.

Расход же жидкости здесь, наоборот значительно увеличивается. В конических расходящихся насадках в месте сжатия струи создаётся значительный вакуум, и поэтому они обладают свойством всасывания, причём ещё в большей степени, чем цилиндрические насадки.

На первый взгляд, это может показаться странным, т.к. коэффициент расхода мал (η=0,45). Однако, необходимо учитывать, что этот коэффициент относится к большому выходному сечению насадки. Если его отнести к малому выходному сечению, т.к. к сечению отверстия в стенке, он будет гораздо больше и достигнет значения, равного 2…3.

Коноидальные насадки имеют форму, близкую к форме струи жидкости, которая вытекает из отверстия в тонкой стенке. Естественно, что поэтому в этих насадках внутреннее сжатие струи отсутствует и коэффициенты скорости и расхода больше, чем во всех остальных случаях.

Несмотря на то, что коноидальные насадки дают наибольшие выходные скорости и расходы, они, однако, сравнительно редко применяются на практике, главным образом из-за сложности их изготовления.

Сводные данные о коэффициентах истечения для различных случаев (для воды) приводится в таблице №1.

Таблица №1.

Значение коэффициентов истечения

для различных случаев

Тип отверстий и насадок	Коэффициенты
	ε	η	μ
Отверстие в тонкой стенке Цилиндрический внешний насадок Цилиндрический внутренний насадок Конический сходящийся насадок Конический расходящийся насадок Коноидальный насадок	0,64 1,0 1,0 0,982 1,0 1,0	0,97 0,82 0,71 0,963 0,45 0,97	0,62 0,82 0,71 0,946 0,45 0,97

Насадки применяются для различных технических целей.

Цилиндрические насадки—трубы, служащие для выпуска жидкости из резервуаров и водоёмов; всевозможные краны и т.д.

Конические сходящиеся насадки применяются для получения больших выходных скоростей и увеличения силы и дальности полёта струи жидкости в пожарных брандспойтах, в форсунках для подачи топлива, гидромониторах для размывки грунта, фонтанных соплах и т.д.

Конические расходящиеся насадки используются для замедления течения жидкости и соответственно для увеличения давления: во всасывающих трубах гидравлических турбин; трубах под насыпями дорог, для замедления подачи смазочных масел и т.д.

Весьма широко применяются насадки в различных приборах и устройствах предназначенных для подъёма жидкости (эжектор инжектор), для разбрызгивания и распыления жидкости, а также для различных целей в химической промышленности.