6.2. Моделирование тепловых систем

Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространст­ве с неоднородным полем температуры называется теплообменом. Теплообмен может осуществляться теплопроводностью, конвек­цией и тепловым излучением.

Температурным полем называется совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент вре­мени. Температурное поле скалярное, так как температура – скалярная величина. Если температура Т является функцией только пространственных координат Т(х, у, z), то процесс теплооб­мена стационарный и температурное поле стационарное. Если температура изменяется во времени, то процесс теплообмена и температурное поле нестационарные.

Соединив точки теплотехнического объекта, имеющие оди­наковую температуру, получим поверхность равных температур, называемую изотермической.

При проектировании теплотехнических объектов на микро­уровне используют уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды. Это уравнение позволяет выполнять анализ температурных полей в твердых телах – деталях машин.

Уравнение теплопроводности является частным случаем закона сохранения энергии. Применительно к тепловой систе­ме закон сохранения энергии можно сформулировать так: изме­нение во времени количества тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме в единицу времени внутренними источниками (или поглощения энергии стоками).

По аналогии с уравнением (6.8) можно записать

(6.12)

где Q – количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м³; – вектор плотности теплового потока, Вт/м²; G_Q – коли­чество тепловой энергии, выделяемой в единицу времени в рас­сматриваемом элементарном объеме, Вт/м³.

Выделение (или поглощение) тепловой энергии внутри тела может происходить из-за объемных химических реакций, прохо­ждения электрического тока, фазовых превращений материала при изменении температуры и т.п. Величина G_Q характеризует мощность внутренних источников (или стоков) теплоты.

Изменение количества тепловой энергии в единице объема dQ пропорционально изменению температуры dT:

(6.13)

где c – удельная теплоемкость материала теплотехнического объекта, Дж/(кг∙К); ρ – плотность материала. Уравнение (6.12) называется уравнением переноса тепловой энергии.

Если плотность теплового потока подчиняется закону теплопроводности (закон Фурье), то уравнение переноса тепловой энергии переходит в уравнение теплопроводности. В соответствии с законом Фурье плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры:

(6.14)

где λ – коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м∙К); – гра­диент температуры.

С учетом выражений (6.13) и (6.14) при λ=const уравнение (6.12) приво­дится к виду

(6.15)

где а_т = λ/(cρ) – коэффициент температуропроводности, м²/с, характеризующий теплоинерционные свойства тела.

Для одномерного случая, когда теплопередача осуществля­ется только вдоль оси х, уравнение теплопроводности (6.15) принимает вид

(6.16)

а при отсутствии еще и источника тепла (G_Q=0)

(6.17)

При решении уравнений (6.15), (6.16) должна быть задана функция G_Q= G_Q(x, y, z, t) и краевые условия – началь­ные и граничные. Кроме того, необходимо описание геометрии те­плотехнического объекта (его формы и размеров), а также физи­ческих свойств объекта и среды (значений параметров ρ, λ, c ).

Временные или начальные условия характеризуют распределение температуры в объекте в начальный момент времени. Для стационарных задач эти условия отсутствуют.

Граничные краевые условия теплообмена характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных условий теплообмена.

При граничных условиях 1-го вида на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры

(6.18)

В частном случае температура поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотермической: .

При граничных условиях 2-го вида на поверхности тела для каждого момента времени задается плотность теплового потока

(6.19)

В частном случае плотность теплового потока может поддерживаться посто­ян­ной во времени, , либо быть нулевой, в последнем случае граница называется адиабатной.

При граничных условиях 3-го вида на поверхности тела для каждого момен­та времени задается температура окружа­ю­щей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

(6.20)

где α – коэффициент теплоотдачи, характеризующий плотность теплового по­то­ка при единичной разности темпе­ратур между поверхностью тела и окружающей средой, Вт/(м²∙К). Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частными случаями граничных условий конвективного теплообмена:

1. – изотермическая граница;

2. – адиабатная граница.

Граничные условия 4-го вида описывают условия теплообмена на границе контакта двух тел

, (6.21)

где R_к [К·м²/Вт] – тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов, ΔТ= Т_п1–Т_п2 – перепад температур на контактирующих поверхностях. В частном случае идеального контакта (R_к=0)

, (6.22)

т.е. коэффициент теплопроводности и темпера­тур­ный градиент обратно пропорциональны: чем выше коэффициент теплопроводности материала, тем меньше в нем температурный градиент.

Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями дают формулировку краевой задачи теплопроводности в объекте, имеющую единственное решение.

В частном случае стационарной теплопроводности плоского слоя толщиной δ, не содержащего внутренних источников тепла (G_Q=0), на поверхностях которого x=0 и x=δ заданы граничные условия первого рода, т.е. поддерживаются температуры соответственно Т₁ и Т₂, математическая формулировка краевой задачи имеет вид

, … (6.23)

Общее решение уравнения теплопроводности (6.23) получается после двойного интегрирования

. (6.24)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ находятся подстановкой граничных условий (6.23) в общее решение (6.24)

и имеют вид .

В результате получается решение задачи

, (6.25)

дающее линейное распределение температуры по толщине слоя.

Плотность теплового потока определяется в соответствии с законом Фурье (6.14)

(6.26)

и является постоянной, отношения и называются соответственно тепловой проводимостью и тепловым сопротивлением плоского слоя.

Потери тепла через плоскую стенку

. (6.27)

Пример 6.1. Определить потери тепла через кирпичную стенку

( ) площадью 3х5 м за сутки. Как изменится теплопроводность, если кирпичную стенку заменить деревянной (сосна поперек волокон, ). Толщины стенок составляют δ_к= δ_д=25 см, температуры наружной и внутренней поверхностей стенки соответственно t₁= 20^oC, t₂= –20^oC. Определить стоимость потерь при цене 1 кВт·час энергии 2 руб.

Решение. По формуле (6.27) определяем потери тепла через кирпичную стенку

,

потери тепла через деревянную стенку

.

Один кВт·час тепловой энергии составляет 3600 Дж, следовательно, стоимость потерь через кирпичную стенку составляет 2∙62500/3600=34,8 руб, а через деревянную стенку – 2∙22200/3600=12,4 руб, что почти в 3 раза меньше.