1.4. Классификация математических моделей

Параметры математических моделей могут иметь различную «математическую природу»: могут быть постоянными величинами, функциями, скалярами, векторами, тензорами различных рангов и т.д.

Варианты описания неопределенных параметров (рис. 1.3):

1. детерминированное – каждому параметру модели соответствует конкретное целое, вещественное, комплексное число, либо функция;

2. стохастическое – значения отдельных параметров определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятностей;

3. случайное – значения отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, полученными в результате обработки экспериментальной выборки данных параметров;

4. интервальное – отдельные параметры задаются интервальными величинами от минимального до максимального значений;

5. нечеткое – параметры модели описываются функциями принадлежности нечеткому множеству («много больше пяти», «около нуля» и т.д.). Разделение моделей на одномерные, двухмерные, трехмерные зависит от координат пространства, увеличение размерности усложняет модель и предполагает использование многопроцессорных компьютеров с использованием языков параллельных вычислений.

По отношению ко времени:

1. в квазистатических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации;

2. в динамических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования велика по сравнению со скоростью релаксации;

3. в стационарных процессах значения параметров в фиксированной точке модели не зависят от времени;

4. в нестационарных процессах время является существенной независимой переменной.

Методы реализации математических моделей подразделяются на аналитические и алгоритмические (рис. 1.4).

Примеры аналитических выражений:

– алгебраические;

– приближенное (точность 10^-4 обеспечивают 6 членов разложения, точность 10^-8 –10 членов).

Аналитические методы получили новый виток в развитии с появлением пакетов символьных вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica и др.).

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечноразностным аналогом и последующим приближенным решением алгебраических уравнений. Разработка и использование численных методов является предметом вычислительной математики.

При имитационном моделировании на отдельные элементы разбивается сам объект исследования, система математических соотношений заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы.

1.5. Этапы разработки математических моделей

Процесс разработки математических моделей трудоемок, длителен, связан с использованием труда различных специалистов и может быть представлен последовательностью этапов (рис. 1.5).

1.6. Вопросы для самоконтроля

1. Перечислите основные проблемы управления дорожным движением.

2. Какие группы математических моделей применяются для прогнозирования поведения транспортных потоков?

3. Что такое модель и моделирование?

4. Объекты микро- и макромоделирования транспортных средств.

5. Цели моделирования транспортных потоков.

6. По каким классификационным признакам можно различать модели?

7. Какие существуют типы моделирования?

8. Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

9. Что такое когнитивная модель, содержательная модель?

10. Каковы особенности детерминированного и неопределенного моделирования?

11. Перечислите этапы построения математических моделей.