2.2. Макроскопические модели транспортного потока

Транспортный поток можно рассматривать в соответствии с гидродинамической моделью как поток одномерной сжимаемой жидкости, допуская, что поток сохраняется и существует однозначная зависимость между скоростью и плотностью транспортного потока.

Первое допущение выражается уравнением неразрывности. Второе – функциональной зависимостью между скоростью и плотностью для учета уменьшения скорости движения автомобилей с ростом плотности потока. Это интуитивно верное допущение теоретически может привести к отрицательной величине плотности или скорости. Поскольку одному значению плотности может соответствовать несколько значений скорости, для второго допущения средняя скорость потока в каждый момент времени должна соответствовать равновесному значению при данной плотности автомобилей на дороге. Равновесная ситуация – чисто теоретическое допущение и может наблюдаться только на однополосных участках дорог без пересечений и при движении автомобилей без обгонов.

Закон сохранения транспортного потока

При равновесном движении с плотностью автомобилей k(x,t) в направлении x число автомобилей в интервале длины дороги (x₁, x₂) в момент времени t равно

(2.13)

Пусть v(x, t) – скорость автомобилей в точке x в момент времени t. Число проходящих через x (единицу длины) автомобилей в момент t равно k(x,t)v(x, t). Найдем уравнение изменения плотности. Число автомобилей в интервале (x₁, x₂) за время t изменяется в соответствии с числом въезжающих и выезжающих машин: 

(2.14)

Интегрируя по времени и полагая, что k и v – непрерывные функции, получим 

(2.15)

Поскольку x₁, x₂  и  t₁, t₂ > 0 произвольны, 

(2.16)

Это уравнение дополняется начальным условием

(2.17)

Найдем уравнение для скорости v. Положим, что v зависит только от плотности k. Если дорога пуста (k =0), автомобили едут с максимальной скоростью v=v_max. При наполнении дороги скорость падает вплоть до полной остановки (v=0), когда машины расположены "бампер-к-бамперу" (k=k _max). Эта простейшая модель выражается следующим линейным соотношением

(2.18) 

Тогда уравнение (2.16) принимает вид

(2.19)

и является  законом сохранения количества автомобилей. Действительно, интегрируя (2.19) по x, получим

(2.20)

и, следовательно, количество автомобилей на отрезке дороги (x₁, x₂) постоянно для любых значений t ≥ 0.

Уравнение (2.18), впервые полученное Гриншилдсом, носит его имя. Линейная аппроксимация Гриншилдса представлена на рис. 2.1. 

Можно построить макроскопическую модель, в которой урав­нение Гриншилдса является частным случаем. Рассмотрим связь между скоростью v и плотностью k автомобилей на до­роге. В общем случае, когда плотность k повышается, водители снижают скорость и наоборот, поэтому

(2.21) 

где x(t) – координата движения элемента потока.

Проследим изменение скорости для некоторого передвигаю­щегося элемента потока во времени, которое определяется как полная производная по времени

(2.22) 

Из уравнения (2.16) следует соотношение

(2.23)

которое после подстановки в (2.23) принимает вид

(2.24)

Поскольку в соответствии с уравнениям (2.21)

(2.25)

из соотношения (2.24) получаем

(2.26)

где , а отрицательный коэффициент пропорциональности можно интерпретировать как вязкость в жидкости. Для классической сжимаемой жидкости уравнение (2.26) называется уравнением Эйлера, в этом случае:

(2.27) 

где С – неотрицательная константа с размерностью скорости.

Принято рассматривать более общий класс моделей, в которых

(2.28) 

Уравнение (2.27) соответствует случаю n≠–1, следовательно, из уравнений (2.26) и (2.27) . Решением этого уравнения будет

(2.29) 

при n=–1 и

(2.30) 

при n≠–1.

Формула (2.29) впервые получена Гринбергом и носит его имя. Обозначив v₀ – скорость при k=0, для значений n≤0 можно записать

(2.31) 

Следует отметить, что полученное ранее уравнение Гриншилдса (2.18) является частным случаем уравнения Гринберга (2.31) при n=1.

Кинематические волны в транспортном потоке

Зависимость интенсивности движения от плотности называют фундаментальной диаграммой транспортного потока. Эта диаграмма может быть получена по модели Лайтхилла-Уизема при следующих допущениях:

• транспортный поток непрерывен, его плотность k(x, t) есть число машин, занимающих единицу длины дороги;

• интенсивность движения q(x, t) равна числу машин, пересекающих черту x за единицу времени, определяется локальной плотностью k:

(2.32)

• скорость потока  т.е. средняя скорость является функцией плотности

• на участке дороги без съездов-въездов количество машин сохраняется.

Уравнения (2.32) и (2.19) образуют полную систему. После подстановки получим 

(2.33)

где  – скорость распространения возмущений.

Соотношение q(k)=kv_в(k) играет важную роль в теории транспортных потоков и называется фундаментальной диаграммой (рис. 2.2). В модели Лайтхилла-Уизема эта зависимость непрерывна, следовательно, предельная пропускная способность участка дороги определяется плотностью потока.

Общий вид решения нелинейного уравнения (2.33):

(2.34)

  где F – произвольная функция. Соотношение (2.34) описывает бегущую волну, рассматриваемую как волну уплотнения в среде. Волны типа (2.34) называют кинематическими волнами, что подчеркивает их кинематическое происхождение в противоположность динамической природе акустических и упругих волн.

Ударные волны в транспортном потоке

Зависимость скорости от интенсивности движения приводит к образованию ударной волны в транспортном потоке. Пусть скорость автомобилей в потоке  лежит в пределах

(2.35) 

так, что [(dq)/(dv)] > 0. Если по какой-либо причине скорость некоторой части потока понизится на Δv, интенсивность движения понизится на k_j(1– 2v/v₀)Δv. Плотность этой части потока k повысится, и скорость будет далее снижаться. Возмущение скорости является незатухающим, что и демонстрирует неустойчивость поведения транспортного потока. В этих случаях автомобили в потоке вынуждены неоднократно трогаться с места и останавливаться. Это явление носит название ударной волны.