1. Бесконечная однородная среда.

Найдем поле моноэнергетических нейтронов, генерируемых в бесконечной однородной среде точечным изотропным источником с постоянной во времени скоростью генерации S_T, нейтр/с, расположенным в начале координат. Уравнение диффузии во всем объеме среды, кроме точки r=0, есть

DΔФ(r) - ∑_aФ(r)=0 (4.1.19)

Ввиду сферической симметрии задачи и однородности среды уравнение (4.19) удобно записать в форме

(4.1.20)

где χ²=∑_а/D (4.1.21)- параметр, определяющий свойства среды.

Условия задачи сформулируем следующим образом

1. поток нейронов ограничен;

2. полное число нейтронов, поглощаемых в единицу времени, равно скорости их генерации (условие баланса для стационарной задачи) , т.е.

(4.1.22)

Для упрощения формы уравнения (4.1.20) сделаем подстановку Ф=u/r и приведем его к виду d²u/dr² – χ²u = 0 (4.1.23)

Общее решение уравнения (4.23) есть

(4.1.24)

Соответственно для Ф(r)

(4.1.25)

Из условия 1 следует, что С₂=0. Тогда

(4.1.26)

Для определения константы С₁ воспользуемся вторым условием (4.1.22). Подставляя в него выражение для потока(4.1.26), имеем

(4.1.27)

Вычисляя интеграл, получаем С₁ = S_T/(4πD) и

(4.1.28)

В природе не существует точечных источников конечного размера. Поэтому полученное решение при r=0 не имеет физического смысла. По формуле (4.28) можно рассчитать распределение потока нейтронов во всем пространстве, кроме точки r=0 , в которой размещен источник. Однако, что вблизи источника диффузионное приближение не дает правильного результата, так как не выполняется условие (4.1.22). Сравнение с точным решением показывает, что хотя поток нейтронов и стремится к бесконечности при r→0, все же диффузионное приближение значительно занижает его значение в окрестности источника.

Полученное выражение для потока нейтронов (4.1.28) можно представить в более общем вид, если источник нейтронов расположен не в начале координат, а в любой точке пространства r’:

(4.1.29)

Функция (4.1.30) называется диффузионной функцией влияния точечного источника. Она имеет следующий физический смысл: это поток нейтронов в точке r, обусловленный наличием в точке r точечного источника, испускающего 1 нейтрон за 1с. Выражение (4.1.30) иногда называют также «точечным» диффузионным ядром.

2. Конечная однородная среда.

В качестве примера рассмотрим случай, когда точечный источник со скоростью генерации S_T расположен в центре сфере радиусом R. Совместим начало координат с центром сферы и найдем распределение потока нейтронов, воспользовавшись полученным ранее общим решением (4.1.25).

Для определения одной из постоянных имеем условие обращения потока нейтронов в нуль на экстраполированном радиусе сферы R_э:

Отсюда

С₂ = С₁exp(-2χR_э) и (4.1.31)

Чтобы найти С₁, воспользуемся условием

Смысл этого условия очевиден – ток нейтронов через сферу, как угодно близко охватывающую источник, равен скорости генерации этого источника. Поскольку , то дифференцируя выражение (4.1.31) по r и устремляя r→0, находим .

Окончательно

Отличие от полученного ранее выражения для потока нейтронов в бесконечном пространстве (4.28) учитывается вторым сомножителем. Этот сомножитель способствует ускорению спада потока нейтронов в конечном объеме по сравнению с бесконечным.

Одногрупповые константы.

Строго говоря, функция плотности потока нейтронов зависит не только от пространственных координат, но и от энергии нейтронов - Ф(r, Е).

В общей физике показывается, что поведение отдельного, не взаимодействующего с другими частицами, атома в каждый момент времени можно полностью описать 6 координатами (6-мерное пространство): 3 пространственные координаты x,y,z и 3 составляющие импульса p_x,p_y,p_z.

Для коллектива невзаимодействующих нейтронов состояние нейтрона описывается 5 переменными – тремя пространственными координатами (x,y,z или r) , энергией нейтрона Е, временем t.

Рассмотрим стационарное пространственно-энергетическое распределение нейтронного поля. Для этого запишем уравнение баланса скоростей всех процессов, протекающих в элементарном объеме фазового пространства dVdE, где dV –элементарный объем в окрестности точки r, а dE – элементарный интервал энергий в окрестности значения энергии Е.

или

Где, первое слагаемое - L(r, E) – количества нейтронов, покидающих в единицу времени рассматриваемый фазовый объем dVdE за счет пространственной миграции;

Второе - А(r , E) – количество нейтронов, поглощаемых в единицу времени в рассматриваемом фазовом объеме dVdE;

Третье слагаемое - P_s(r,E) - количества нейтронов,покидающих в единицу времени рассматриваемый фазовый объем dVdE за счет рассеяния на ядрах среды;

Четвертое слагаемое R_s(r,E) – количество нейтронов, появляющихся в единицу времени рассматриваемом фазовом объеме dVdE за счет рассеяния на ядрах среды, т.к. рассматривается стационарный случай, то ;

Пятое слагаемое - F(r,E) – количество нейтронов, генерируемых в единицу времени в рассматриваемом фазовом объеме dVdE за счет деления ядер среды;

Шестое слагаемое - S(r,E) –количество нейтронов, генерируемых в единицу времени в рассматриваемом фазовом объеме dVdE внешними для данного элемента объема dV источниками нейтронов.

Так как коэффициенты уравнения диффузии являются функциями многих переменных, для упрощения решения задачи их усредняют по всему энергетическому спектру нейтронов. В одногрупповом приближении усредненные по всему спектру энергии нейтронов величины определяются:

плотность потока нейтронов (4.1.38)

плотность нейтронов (4.1.39)

скорость нейтронов (4.1.40)

макросечение поглощения (4.1.41)

транспортное макросечение (4.1.42)

коэффициент диффузии (4.40)

параметр деления (4.1.43)

мощность источника (4.1.44)

В силу сложности задачи пусть в каждой точке среды нейтронное поле имеет распределение (спектр нейтронов) f(Е), т.е.

n(r, E) = n(r)f(E) (4.1.45)

при этом для функции f(Е) выполняется условие нормировки

Усреднение характеристик полиэнергетического коллектива нейтронов, в идеале, необходимо проводить по всему спектру конкретного ЯР, но это всегда искомая величина. Поэтому, в первом приближении, усреднение всех параметров проводят по известным спектрам Уатта (для БН), Ферми (для замедляющихся нейтронов), Максвелла (для ТН), функции распределения которых известны.

4.2. Многогрупповое уравнение для плотности потока нейтронов и его решение.

Для решения задач физики ядерных реакторов мы использовали одногрупповой метод. Мы полагали, что в реакторе присутствуют нейтроны только одной энергии, то есть эти нейтроны являются тепловыми. В качестве источника тепловых нейтронов мы рассматривали нейтроны, которые замедлились до тепловой энергии, избежав резонансное поглощение и утечку. Такой подход позволил нам получить ряд фундаментальных результатов физики реакторов, которые составляют ее основу. В том числе мы исследовали влияние отражателя на распределение нейтронного потока и на критичность реакторов различной формы. До настоящего времени мы считали, что нейтроны с энергиями, отличными от тепловой не оказывают влияния на работу реактора и служат лишь источником тепловых нейтронов.

Очевидно, что такое приближение с большим количеством допущений является самым первым, оценочным приближением. Оно пригодно для гомогенных реакторов больших размеров. С уменьшением размеров активной зоны точность результатов значительно падает. При рассмотрении гомогенного реактора с отражателем мы получили ряд результатов, которые можно рассматривать как интегральные и качественные.

Дифференциальное по пространству распределение нейтронного потока в реакторе с отражателем в одногрупповом приближении далеко от ситуации близкой к реальной картине.

Энергетическое распределение нейтронов.

Очевидно, что нейтронно-физические процессы в ядерном реакторе – это более сложная и многофакторная задача. Присутствие в реакторе нейтронов с энергией, отличной от тепловой, существенно влияет на физические процессы в ядерном реакторе.

1. Энергетическое распределение нейтронов деления описывается уравнением Уатта , где n(E) – доля нейтронов, имеющих энергию E; C – константа, характеризующаяся типом делящегося нуклида (например для ²³⁵U: C ≈ 0,48)

Основные характеристики спектра нейтронов деления:

• средняя энергия – приблизительно 2 МэВ;

• наиболее вероятная энергия – около 0,7 МэВ;

• условная граница быстрых нейтронов – 1 ÷ 10 кэВ.