7.3. Решение уравнений точечной кинетики с учетом запаздывающих нейтронов

Строгое решение уравнения кинетики с учетом шести групп запаздывающих нейтронов ищется в виде

,

где ωi – параметр, определяемый характеристиками ядер – предшественников; Аi – константы, получаемые из начальных условий.

Для анализа временной зависимости потока нейтронов в реакторе и оценок, необходимых в практике эксплуатации ректоров, обычно используют решение системы уравнений кинетики для одной группы запаздывающих нейтронов и мгновенных нейтронов, которое имеет вид:

,

Здесь А0, А1 - произвольные константы интегрирования, определяемые из начальных условий. Опуская несложные выкладки для получения выражения для потока нейтронов в приближении точечной кинетики и одной группы запаздывающих нейтронов, справедливой для ρ<=0,9β

Первое слагаемое в правой части выражения отражает влияние запаздывающих нейтронов на зависимость потока от времени, второе – мгновенных нейтронов.

7.4. Получение уравнений кинетики.

Пусть в момент времени t в реакторе имеется равномерное распределенное поле нейтронов плотностью n и также равномерно распределенная концентрация ядер i-го сорта предшественников запаздывающих нейтронов сi. Тогда скорость изменения плотности нейтронов dn/dt будет складываться, с одной стороны, из скоростей их образования в результате деления на мгновенных нейтронах kэф(1-β)ΣаФ и распада ядер предшественников всех шести сортов с другой, из скорости поглощения нейтронов ΣаФ. Таким образом, уравнения баланса нейтронов в точечном приближении и с учетом можно записать как

Запишем также уравнении баланса для концентрации ядер-предшественников ci(t). Скорость изменения ci(t) состоит из скорости образования i-х ядер – предшественников βiΣakэфФ(t) и скорости их убыли в результате β – распада. Окончательно получаем 6 уравнения для ci (i=1.2….6).

Начальные условия уравнений Ф(0)=Ф0, сi = с0.

В приближении одной группы запаздывающих нейтронов система уравнений кинетики имеет вид:

,

7.5. Уравнение Нордхейма (обратных часов) и его решение

- уравнение обратных часов (УОЧ) или уравнение Нордхейма. Первое слагаемое определяет влияние мгновенных нейтронов, второе – запаздывающих.

Уравнение обратных часов имеет семь корней, тогда общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора  будет не одной экспонентой, а будет представлять собой сумму семи экспонент, показатели которых определяются величинами этих семи корней уравнения обратных часов:

n(t) = A_oexp(t/T_o) + A₁exp(t/T₁) + A₂exp(t/T₂) + A₃exp(t/T₃) + A₄exp(t/T₄) + A₅exp(t/T₅) +    A₆exp(t/T₆)

или в краткой форме:

,

где  Т_о, T₁, T₂, ... , T₆ - значения семи корней уравнения обратных часов, а A_o, A₁, A₂, ... , A₆ - величины постоянных интегрирования, находимые путём подстановки в общее решение конкретных начальных условий. Знаки корней уравнения обратных часов наиболее наглядно видны, если показать его решение в графическом виде:

Рис. График  зависимости корней уравнения  обратных часов при положительных и отрицательных реактивностях разной величины.

На этом графике показано решение уравнения обратных часов в зависимости не от величины самого периода Т, а от обратной ему величины 1/Т: так удобнее выполнять решение уравнения аналитически.   Как видим, функция ρ = f (1/T) имеет шесть точек разрыва (второго рода), и именно благодаря этой разрывности отдельные корни уравнения обратных часов отображаются на графике достаточно наглядно: области изменения каждого из семи корней по оси 1/T лежат между соответствующими точками разрыва; например, нулевой обратный корень 1/Т_о лежит правее первой точки разрыва (- λ₁), первый обратный корень 1/Т₁ - между первой и второй точками разрыва (-λ₁ и -λ₂),  второй обратный корень 1/T₂ - между второй и третьей точками разрыва (-λ₂ и -λ₃ ) и так далее; значения последнего, седьмого, обратного корня 1/Т₇ - располагаются левее последней, шестой, точки разрыва  (-λ₆). При этом  знаки всех семи корней уравнения обратных часов определяются самым наглядным образом: в точках пересечения соответствующих участков графика с горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат рассматриваемое значение реактивности ρ. Из графика видно, что, если величина сообщаемой реактору реактивности положительна, то нулевой обратный корень 1/Т_о , а, значит, и сам корень Т_о, - положителен (т.к. располагается в правой полуплоскости, правее оси О - ρ). Остальные шесть корней (Т₁ ÷ Т₆) уравнения обратных часов - отрицательны (лежат в левой полуплоскости). Если же величина сообщаемой реактору реактивности отрицательна, то все семь корней уравнения обратных часов отрицательны (лежат в левой, отрицательной, полуплоскости).Что касается величин самих корней, то они, как следует из графика, определяются только величиной сообщаемой реактору реактивности ρ. Теперь о знаках постоянных интегрирования  (А_о ÷ А₆). Здесь не приводится полный (и очень громоздкий) аналитический вывод общего выражения для любой из постоянных интегрирования, которое имеет вид:

Квадрат выражения в скобках под знаком суммы, независимо от знака корня Т_i, всегда имеет положительный знак, и, поскольку все остальные величины знаменателя положительны, то весь знаменатель - всегда положителен. А раз так, то знак постоянной интегрирования А_i всегда определяется знаком произведения  ρТ_i  в числителе правой части этого выражения. То есть, если нулевой корень Т_о при ρ > 0, как говорилось выше, положителен (Т_о > 0), то произведение ρТ_о > 0, а, следовательно, А_о > 0. При отрицательной же величине реактивности (ρ < 0) произведение отрицательного нулевого корня Т_о  на отрицательную величину реактивности ρ  даёт положительную величину произведения ρТ_о, и, следовательно, величина нулевой постоянной интегрирования будет иметь положительный знак. Проделав такой микроанализ со всеми величинами постоянных интегрирования, можно прийти к общему выводу:

• при ρ>0:  Т_о > 0 и А_о > 0, а остальные корни (Т₁÷Т₆)<0 и (А₁÷А₆) < 0;     

• при ρ<0:  все 7 корней (Т_о÷Т₆)<0,  а постоянные интегрирования (А_о÷А₆)>0.