7.3. Свойства частоты

Итак, мы с вами уже познакомились с таким понятием как частота.

Т.е если поставлено n опытов, в которых может наблюдаться случайное событие А, то частота этого явления будет равна

.

Свойство первое:

,

т.е. частота – величина неотрицательная и не превосходящая единицы.

Свойство второе:

,

т.е. частота равна нулю, если случайное событие А в n опытах не произошло ни разу.

Свойство третье:

,

т.е. частота равна единице, если случайное событие А наблюдалось во всех n опытах.

Свойство четвёртое.

Если случайные события А и В не встречаются одновременно, то можно рассмотреть событие С, состоящее в том, что в опыте появляется или А, или В.

С = «или А, или В»

Например, при бросании кубика А – выпадение 1 очка, В – выпадение 6 очков, С – выпадение одного из крайних значений.

Обозначим через – число появления А;

– число появлений В;

– число появлений С.

тогда

.

7.4. Случайные события и их виды

Самые мелкие взаимно исключающие исходы опыта называются простейшими исходами или элементарными исходами.

Вся совокупность элементарных исходов называется множеством элементарных исходов или пространством элементарных исходов.

Пространство элементарных исходов обозначается греческой буквой

 – омега большое.

Один элементарный исход – маленькой буквой

 – омега маленькое.

Рассмотрим примеры пространств элементарных исходов для различных случайных явлений.

Пример 1. Игральная кость (кубик).

.

Пример 2. Трёхкратное бросание монеты. О – орел, Р – решка.

.

Самостоятельно определите число элементарных исходов в этом примере.

Пример 3. Число преступлений, совершённых в городе за сутки.

Число элементарных исходов не ограничено.

Случайное событие – это исход некоторого опыта, в котором имеется случайность.

Обычно событием называют какое-либо подмножество пространства ., т.е. совокупность нескольких элементарных исходов.

Пример. Событие заключается в том, что в городе за сутки произойдёт не более 10 преступлений. Это и 10, и 9 и меньшее количество преступлений.

Достоверным событием называется событие, которое всегда осуществляется в условиях данного опыта.

Достоверное событие обычно обозначается , т.к. совпадает с пространством элементарных исходов.

Невозможным событием называется событие, которое никогда не осуществляется в условиях данного опыта.

Обычно обозначается значком пустого множества, т.е. .

Равными событиями называются события, состоящие из одинаковых элементарных исходов.

Пример. При двукратном бросании монеты события, состоящие в том, что «число «орлов» чётно» и «число «орлов» больше одного», равны.

Событие С называется противоположным событию А, если оно состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

Для того, чтобы сказанное было нагляднее, приведём следующий пример.

Пусть у нас стрельба по мишени. Событие А – попадание не хуже чем на 8 очков, т.е. в чёрное. Противоположное событие – попадание в белое.

Изобразим это в виде рисунка.

Квадрат – это все возможные точки попадания. Окружность – середина мишени.

Попадание в каждую точку мишени – элементарный исход .

Поэтому квадрат – это пространство элементарных исходов .

Каждое событие – совокупность элементарных исходов, поэтому можем изображать событие в виде некоторой геометрической фигуры, потому что геометрическая фигура это совокупность точек.

Обозначается противоположное событие, как .

Событие В называется независимым по отношению к событию А, если возможность появления в опыте события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Примеры.

1) При многократных бросаниях монеты исходы бросаний независимы.

2) При вытаскивании из колоды одной карты событие «Эта карта – король» и событие «Эта карта – буби» – независимы по отношению друг к другу.

3) При последовательном вытаскивании двух карт из колоды возможность события «Вторым вытащен король» будет зависеть от того, произошло событие «Первым вытащен король» или нет (если первым вытащен король, то королей в колоде становится меньше, и возможность повторного вытаскивания уменьшается. А событие «Первым вытащен король» будет независимым от события «Вторым вытащен король».

В дальнейшем все рассматриваемые события будем считать независимыми.