8.9. Оценка математического ожидания количественного признака и её ошибка Количественный признак
Количественный признак – это показатель каждой единицы генеральной совокупности, выражающий ее определенное свойство числом и единицей измерения.
Например,
– стоимость ущерба в рублях,
– масса единицы товара в килограммах,
– численность преступной группы в человеках.
Количественный признак в генеральной совокупности характеризуется своим математическим ожиданием M(X), дисперсией D(X), а также распределением.
Оценка математического ожидания производится по формуле выборочного среднего
= = ,
а оценка дисперсии – по формуле выборочной дисперсии s2
=
s2 = 
.
Ошибка оценки математического ожидания зависит от дисперсии количественного признака в генеральной совокупности D(X) и уменьшается с ростом объёма выборки n. Выражение для дисперсии оценки математического ожидания количественного признака по выборке, как вывели математики, таково:
D(
) = 
.
Таким образом, дисперсия оценки математического ожидания количественного признака зависит
1) от дисперсии самого количественного признака
2) и от объема выборки.
Вычислить точное значение дисперсии оценки математического ожидания мы не можем, потому что нам неизвестна дисперсия генеральной совокупности.
Но мы сможем «схитрить» и вычислить приближённое значение дисперсии оценки математического ожидания, если в предыдущей формуле заменим неизвестную дисперсии генеральной совокупности D(X) на её оценку s2, полученную по выборочным данным:
= 
.
Для определения среднеквадратической ошибки оценки математического ожидания необходимо извлечь из выборочной дисперсии квадратный корень:
= 
.
Теперь, когда получено выражение для ошибки , может записать полный ответ для задачи об оценке математического ожидания количественного признака в соответствии с требованиями статистики:
«Математическое ожидание равно оценка плюс-минус среднеквадратическая ошибка оценки
»
Не следует путать по смыслу среднеквадратическую ошибку оценки математического ожидания и выборочное среднеквадратическое отклонение количественного признака s .
С увеличением объёма выборки стремится к нулю
А s с увеличением объёма выборки – к среднеквадратическому отклонению генеральной совокупности
Для того чтобы почувствовать, насколько быстро убывает среднеквадратическая ошибка с ростом объёма выборки, построим две зависимости.
1)
y
=
2)
y
=
Мы видим, что с ростом n ошибка убывает, но не очень быстро.
Следует также заметить, что известное нам выражение для оценки доли качественного признака через частоту переходит в формулу для оценки математического ожидания, если качественный признак описывается двузначной случайной величиной со значениями «0» и «1»
.
Здесь m – количество появлений значения «1».
Так что вычисление среднего арифметического – это, по-прежнему, основной статистический приём.
8.10. Понятие доверительного интервала
Этот вопрос важен тем, что он рассматривается в одной из практических работ, а также в самостоятельной работе.
Во многих случаях бывает удобно указывать не само значение оценки, а отрезок, интервал, содержащий неизвестное значение случайной величины или оцениваемой характеристики случайной величины.
Например, «среднее время ожидания троллейбуса от общежития 5–10 минут». Это не значит, что очередной троллейбус не может прийти через 1 или через 30 минут, но наиболее вероятное значение времени ожидания лежит в пределах от 5 до 10.
Для наглядности рассмотрим пример: стрельбу по мишени из винтовки.
Винтовка пристрелянная, у стрелка зрение хорошее, рука твёрдая.
Но из-за дыхания, ударов сердца, дрожания рук точного попадания, как правило, нет.
Подойдём к опыту со стрельбой с двух сторон: до выстрела и после выстрела.
1. Вешается новая мишень. До выстрела можно сказать, что отверстие от пули будет находиться где-то вблизи от центра мишени.
2. Выстрел по мишени сделан, после чего мишень убрана. В стене осталось отверстие от пули. Не зная, где была прикреплена мишень, можно сказать, что её центр находился где-то вблизи от пулевого отверстия в стене.
Взаимное удалённость пулевого отверстия и центра мишени в обоих случаях определяется только точностью стрельбы.
Теперь переформулируем наши наблюдения (при этом первое будет относиться к теории вероятности, второе – к статистике).