7.5. Действия со случайными событиями
Событие С называется произведением событий А и В, если оно состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые входят в А и В одновременно.
Обозначается
как
.
Широко
используется также и другое обозначение:
.
Оно заимствовано из теории множеств. Это вполне уместно, т.к. здесь событие рассматривается как множество исходов.
Однако для простоты мы будем использовать алгебраический значок умножить, а не значок объединения множеств. Не забывая, что смысл «умножить» другой.
Событие С называется суммой событий А и В, если оно состоит из тех элементарных исходов, которые входят либо в А, либо в В, либо в А и В одновременно.
Графический пример.
Обозначается
как
.
Широко
используется также и другое обозначение:
.
Но мы, по-прежнему, будем использовать знак плюс. И это не знак арифметического сложения!
Событие С называется разностью событий А и В, если оно состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые одновременно входят в А и не входят в В.
Обозначается
как
.
В теории множеств для разности используется и другое обозначение: С = A \ B .
Но мы будем использовать знак минус.
Этот знак минус не означает арифметическую разность, т.к. из не следует, что .
Знак
плюс также не означает арифметическую
сумму, т.е. из
не следует, что
.
Знак умножить также не является арифметическим произведением, т.к. обратным к нему должно было бы быть действие деления, а оно для событий вообще не определено.
Исходя из определения разности событий А и В можно записать, что
=
События А и В называются несовместными, если ни один из элементарных исходов, входящих в А, не входит в В, и наоборот.
Иными словами, наступление одного из них исключает наступление другого.
Изобразить
несовместные события можно так
Математическая
запись этого случая такая:
.
7.6. Классическое определение вероятности
Мы помним, что вероятность – это численная мера возможности
Под словами «определение вероятности» мы будем понимать не формулировку, мол, что это такое, а способ установления этой численной меры.
Мы уже рассмотрели статистический способ определения вероятности, т.е. через частоту. Он прост и понятен.
Но определять вероятность, проводя многократные опыты, часто крайне затратно.
Поэтому рассмотрим другие подходы к определению вероятности.
Первым рассмотрим классическое определение вероятности.
Этот способ состоит из трёх положений.
Пространство элементарных исходов состоит из N равновозможных элементарных исходов.
.
N – конечное число (это непременное условие!).
Вероятность любого i-ого элементарного исхода определяется просто как:
.
Ещё раз подчеркнём: исходы равновозможны, следовательно, равновероятны.
Вероятность любого события A определяется как
,
где k – число элементарных исходов, из которых состоит событие А.
Чисто внешне последняя формула похожа на формулу для частоты, но в ней всё другое:
в числителе – не число выпадений события A в последовательности опытов, а число благоприятных исходов, возможных в условиях данного опыта,
в знаменателе – не число опытов, а общее число элементарных исходов.
При таком подходе для определения вероятности нет необходимости в проведении многочисленных опытов.
Достаточно 1) убедиться в равновозможности всех исходов, 2) убедиться в конечности их числа, 3) подсчитать число благоприятных исходов среди всех и 4) разделить на их общее число.
Так для ровной, непогнутой монеты можно сразу сказать, что вероятность выпадения орла равна 1/2.
А вероятность вытащить короля бубей из полной колоды равна 1/52.