8.8. Ошибка оценки доли качественного признака
Оценивать долю качественного признака мы теперь умеем: для этого вычисляем по выборке частоту.
Но для полноты ответа надо указать, какова погрешность нашего результата, иными словами: насколько велико отклонение полученной оценки доли качественного признака от неизвестного истинного значения?
Для ответа на этот вопрос необходимо вычислить дисперсию оценки доли качественного признака.
Мы с вами знаем общую формулу для дисперсии. Если подставить в неё все величины и произвести необходимые достаточно громоздкие математические преобразования (мы этого делать не будем), то она упрощается и принимает следующий вид:
.
n – это, по-прежнему, объём выборки.
p – доля качественного признака в генеральной совокупности.
В числителе стоит дисперсия двузначной случайной величины, описывающей качественный признак, поэтому
.
Глядя на последнее равенство, можно сделать следующие выводы.
Дисперсия оценки доли качественного признака:
прямо пропорциональна дисперсии двузначной случайной величины;
обратно пропорциональна объему выборки.
Эти выводы справедливы и для оценки количественного признака, который мы рассмотрим чуть позже.
Итак, мы получили выражение для дисперсии оценки, но в него входит неизвестная величина: оцениваемая доля качественного признака. Следовательно, дисперсию оценки мы вычислить не можем.
Однако здесь можно применить одну «хитрость».
Если вместо неизвестной доли качественного признака подставить её оценку , полученную по выборке, то мы получим приближённое значение дисперсии оценки доли качественного признака, т.е. выборочную дисперсию оценки:
Для определения выборочной среднеквадратической ошибки извлекаем квадратный корень.
.
Теперь,
когда получено выражение для ошибки
,
может записать полный ответ для задачи
об оценке доли качественного признака
в соответствии с требованиями статистики:
«Доля качественного признака равна оценка плюс-минус среднеквадратическая ошибка оценки
p = »
Рассмотрим задачу, полностью совпадающую с домашним заданием.
Допустим, проводится криминологическое исследование такого уголовно-наказуемого деяния, как хулиганство. Известно, что в большинстве случаев хулиганство совершается в состоянии алкогольного опьянения.
Требуется оценить какова доля случаев, когда лицо, совершающее хулиганство, находится в состоянии алкогольного опьянения.
Для ответа на поставленный вопрос отбирается 49 уголовных дел по хулиганству:
n = 49 .
Предположим, в 40 из них зафиксировано нетрезвое состояние лица, обвиняемого в хулиганстве:
m = 40 .
Качественный признак в этой задаче – состояние алкогольного опьянения.
Вычислим оценку доли этого качественного признака
.
Есть соблазн округлить до 0,8, но это преждевременно, т.к., отбрасывая значащие цифры, мы внесём дополнительную ошибку. Округлять можно только в ответе.
Итак, мы можем утверждать, что неизвестное значение доли качественного признака приблизительно равно её оценке.
p 0,8163
Для того чтобы получить представление о степени приближенности сделанной оценки надо вначале вычислить выборочную дисперсию оценки.
Единица измерения полученного значения – доля от целого в квадрате.
Теперь вычисляем выборочную среднеквадратическую ошибку оценки.
Теперь о том, сколько цифр оставлять в ответе.
По правилам округления в приближённых вычислениях ошибка округляется в ответе до единственной значащей цифры.
Для оцениваемого значения – правило другое: количество значащих цифр после запятой должно быть таким же, как и у ошибки. Или, другими словами, младший разряд оценки должен соответствовать разряду значащей цифры ошибки.
Единица измерения полученного значения – доля от целого.
Таким образом, ответ на поставленный вопрос таков: доля лиц, совершающих хулиганские действия в состоянии опьянения, составляет
p = 0,82 0,06 .