Статистика

Сейчас нами изучается статистика как отрасль знаний.

Можно также услышать словосочетания: «статистика краж», «статистика убийств». Здесь под статистикой понимается совокупность данных.

Но в аналитической статистике как отрасли знаний статистика – это не только данные, а ещё это какая-либо функция от выборочных данных (в виде формулы).

Т.е. статистика – это и область знаний, и данные, и функция данных. Безусловно, неудобно, что одно и то же слово имеет разные значения, но так уж сложилось.

Статистикой, например, является выборочное среднее. А также выборочная дисперсия, выборочный коэффициент корреляции, которые будут рассмотрены позже.

Поскольку выборочные данные случайны, их различные наборы, подставленные в одно и то же выражение для статистики, каждый раз будут давать несколько отличающиеся результаты.

Поэтому статистика как функция является случайной величиной.

Её распределение, среднее и дисперсия отличаются от соответствующих характеристик выборочных данных, использованных при её вычислении.

Закон больших чисел для статистики

Статистика как случайная величина помимо среднего и дисперсии характеризуется законом или плотностью распределения.

При неограниченном увеличении объёма выборки закон или плотность распределения любой статистики всё более и более приближается к нормальному распределению.

Сходство становится заметным при объёме выборки более 10. Практически приемлемое совпадение достигается при объёме выборки более 25.

Когда шла речь о том, что такое закон распределения, рассматривалось однократное и двукратное бросание монеты. Для двукратного строился закон распределения суммы очков, который представлял собой три столбика разной высоты.

Здесь на рисунке представлен закон распределения суммы очков, выпадающих при 9-кратном бросании монеты («орёл» – 0, «решка» – 1 очко). Сумма очков – это пример статистики.

Хорошо видно, что огибающая столбиков закона распределения имеет вид, близкий к колоколообразному.

8.4. Выборочная дисперсия Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия – это оценка неизвестного значения дисперсии наблюдаемой в опыте случайной величины.

Вычисляется по формуле среднего арифметического, в которой выборочные значения заменены квадратами отклонений выборочных значений от выборочного среднего.

s² = ( (x₁ – )² + (x₂ – )² + … + (x_n – )² ) / n = =  .

s² – это принятое в статистике обозначение для величины, которую мы в теории вероятности обозначали как D_n(X).

Формула для выборочной дисперсии одинаково пригодна как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

С ростом объёма выборки n возможное отклонение выборочной дисперсии s² от оцениваемой неизвестной дисперсии случайной величины D(X) уменьшается.

Эта закономерность – проявление закона больших чисел.

Выборочное среднеквадратическое отклонение

Выборочное среднеквадратическое отклонение – это оценка неизвестного значения среднеквадратического отклонения (стандартного отклонения) наблюдаемой в опыте случайной величины.

Буквенное обозначение: s .

Вычисляется как квадратный корень из выборочной дисперсии.

Особенность дисперсии в том, что её единица измерения – это квадрат единицы измерения случайной величины.

Были рубли – будут рубли в квадрате. Были года – будут года в квадрате.

Среднеквадратическое отклонение измеряется в тех же самых единицах измерения, что и случайная величина. В этом удобство этого показателя рассеяния.