8.12. Необходимый объем выборки при оценке доли качественного признака
Есть такой вопрос в самостоятельной работе.
Мы установили, что ошибка оценки зависит от объема выборки: чем больше выборка, тем ошибка меньше, а оценка точнее.
В ряде задач требуется обеспечить определенную точность результата, и поэтому нужно заранее знать какой потребуется объем выборки, так как от этого зависит и время, и средства, и люди.
В качестве примера можно привести выборочный опрос общественного мнения с возможными ответами «Да» и «Нет».
Например, ошибка оценки не должна превышать 1-2%.
Вопрос: Какое количество людей необходимо опросить?
Определение.
Необходимый объем выборки – это такое количество выборочных данных, которое обеспечивает выборочную среднеквадратическую ошибку оценки не хуже заданной.
Оцениваемая доля качественного признака находится в пределах от 0 до 1.
0 p 1.
Заданная ошибка оценки обычно выбирается из следующего ряда
зад = 0,10; 0,05; 0,01 (10%; 5%; 1%).
Помним, что доля – безразмерная величина. Поэтому и ошибка – тоже безразмерная величина.
Вспомним, как связаны выборочная среднеквадратическая ошибка оценки и объём выборки.
Из этой формулы можно выразить объем выборки
n =
.
При равенстве ошибки заданному значению получается формула для необходимого объёма выборки
nнеобх
.
Знак «» выбран потому, что объём выборки nнеобх должен обеспечивать ошибку не хуже заданной зад.
Доля качественного признака в этой формуле оценивается по доступной выборке небольшого объема.
Округление в приведённом неравенстве при получении дробного числа необходимо производить в большую сторону, чтобы получить nнеобх, обеспечивающий ошибку не хуже заданной зад.
Рассмотрим числовой пример. Центр изучения общественного мнения хочет оценить долю населения, поддерживающего главу администрации с ошибкой в 1%. Т.е. зад = 0,01.
Предположительно, хотя точно неизвестно, его поддерживает около половины населения. По доступной выборке небольшого объёма получилось такое значение доли
= 0,4567 .
Подставляем эти данные в выражение.
nнеобх 
=
0,248125
1002
= 2481,25
2482 человека.
Округление объёма выборки сделано в большую сторону! Иначе ошибка увеличится и станет больше заданной.
Итог: необходимо опросить почти 2500 человек.
В результатах предвыборных опросов, которые приводят по телевидению, указывается примерно то же число опрошенных 1500-2000 человек.
8.13. Необходимый объем выборки при оценке математического ожидания количественного признака
Есть такой вопрос в самостоятельной работе.
Мы выяснили, что для определения необходимого объема выборки требуется задать предельно допустимую среднеквадратическую ошибку.
При оценке качественного признака ошибка была долей. А в случае количественного признака ошибка будет выражаться в тех же единицах измерения, что и сам количественный признак, например: в рублях, в килограммах.
Для того чтобы ошибка также была долей и могла выражаться в процентах, надо вычислять относительную ошибку.
Относительная ошибка численно равна отношению выборочной среднеквадратической ошибки оценки к значению оценки:
= 
.
Здесь – маленькая греческая буква дельта. Модуль – для положительности итогового значения.
Другое название относительной ошибки – относительная погрешность. Из названия всё понятно.
Заданная относительная ошибка оценки обычно выбирается из следующего ряда:
зад = 0,10 , 0,05 , 0,01 (10 %, 5 %, 1 %).
Приступаем к получению выражения для необходимого объёма выборки.
Мы знаем, как связаны объём выборки и выборочная среднеквадратическая ошибка:
= .
Выражаем отсюда объём выборки
n =
=
и, пользуясь выражением для , заменяем оценку ошибки
=
.
Если в знаменателе в качестве подставить заданную относительную ошибку зад, то получим выражение для необходимого объема выборки
nнеобх
.
Выборочная дисперсия s2 и оценка среднего определяются по доступной выборке небольшого объема. Округление выполняется в большую сторону.