7.7. Свойства вероятности. Полная группа событий

Свойства вероятности очень похожи на свойства частоты.

Свойство 1.

Для любого случайного события A

.

Свойство 2.

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

Свойство 3.

Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

Свойство 4.

Если A и B – несовместные события, т.е. ,

то .

В этой последней записи между вероятностями стоит знак арифметического сложения, потому что вероятность это число. А внутри скобок – знак суммы событий. У этих знаков разные смыслы.

Несколько особняком стоит свойство 5.

Свойство 5.

Если A и B – независимые события, т.е. такие, что вероятность любого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет,

то вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

И 4-е, и 5-е свойства можно распространить на случай нескольких событий.

Рассмотрим 4-е свойство:

Если события А_1, А₂, …, А_n попарно несовместны, т.е.

при ,

то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_i) … + P(A_n).

Теперь подошло время познакомимся с одним математическим обозначением, которое оказывается удобным, когда в записи формулы возникает много слагаемых, похожих друг на друга.

Если посмотреть на формулу для вероятности суммы событий, то видно, что в ней складываются «А» с изменяющимися порядковыми номерами внизу:

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n

Номера идут от 1 до n. Обобщённый промежуточный номер обозначен номером i.

Для более краткой записи такой длинной суммы рисуют большую греческую букву «сигма», означающую сумму, а после неё обобщённое промежуточное слагаемое с номером i. Сверху и снизу знака суммы пишут, в каких пределах изменяется этот номер i, т.е. от 1 до n.

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n =

Очевидно, что запись суммы похожих слагаемых становится короче, хотя такая запись и непривычна. Но мы ею будем пользоваться в дальнейшем для краткости.

Рассмотрим, как с использованием этой записи будут выглядеть записанная нами прежде формула:

Понятие полной группы событий.

Если имеются события А_1, А₂, …, А_i …, А_N такие, что

1. они попарно не совместны, т.е.

при i  j

2. их сумма исчерпывает достоверное событие (составляет достоверное событие), т.е.

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_N =  ,

то совокупность таких событий называются полной группой событий.

Вероятность суммы полной группы событий равна единице:

P(A₁ + A₂ + … + A_N) = P() = 1

Пример полной группы событий – совокупность всех элементарных исходов опыта.

Для вероятности суммы полной группы событий сокращённая запись такова:

Для любознательных.

А что, если события A и B таковы, что они не обладают свойством несовместности, т.е. ?

В этом случае вероятность их суммы вычисляется по более сложной формуле:

.

7.8. Геометрическое определение вероятности. Плотность вероятности

Возможен другой способ определения вероятности: геометрический.

Вспомним доску Гальтона.

Шарики падают из воронки и попадают на горизонтальную ось x.

При падении они сталкиваются с препятствиями, поэтому заранее предсказать точку падения на оси невозможно.

Вся ось отождествляется с достоверным событием . Т.е. вероятность того, что шарик попадёт на ось куда бы то ни было, равна единице. В воздухе он не зависнет.

Каждая точка оси – это элементарный исход, т.е. возможное место падения шарика.

Событие – это попадание шарика в пределы заданного отрезка на оси х.

Вероятность элементарного исхода – это вероятность попадания шарика в определённую точку на оси.

При данной постановке опыта очевидно, что шарики падают в область непосредственно под воронкой чаще, а вдали от неё – реже.

Каковы отличия от классического определения вероятности?

1. Количество элементарных исходов бесконечно.

2. Вероятности элементарных исходов различны.

Теперь рассмотрим следующий любопытный вопрос.

А какова вероятность попадания в точку?

Ответ: бесконечно малая величина, потому что точка имеет бесконечно малую толщину. Т.е. почти ноль. Но всё же не ноль.

Вместе с тем, как было указано, вероятность попадания шарика в точку оси прямо под воронкой выше, чем вдали от неё.

Как учесть эти два обстоятельства и предложить способ определения вероятности?

Сделаем следующее.

1. На горизонтальной оси выберем точку x₀ и отложим в её окрестности отрезок длиной x.

2. Рассмотрим событие А, состоящее в том, что шарик попадёт в пределы этого отрезка. Вероятность такого события P(A) уже не будет бесконечно малой величиной. Это вероятность попадания в ящичек в опыте Гальтона.

3. Начнём уменьшать длину этого отрезка, постепенно стягивая его в точку x₀

x  0.

При этом начинает уменьшаться и вероятность попадания шарика в пределы отрезка

P(A)  0.

4. Рассмотрим отношение этих величин.

Оказывается, что при одновременном уменьшении и числителя, и знаменателя дробь будет стремиться к некоторой определённой величине

.

Эта величина носит специальное название: плотность вероятности.

Плотность в физике – это масса на единицу объёма. А здесь у нас вероятность на единицу длины.

Плотность вероятности зависит от выбора точки x₀ и характеризует вероятность попадания шарика в окрестность точки x₀ .

Для её обозначения используется латинская буква p, но не большая, как для вероятности, а маленькая.