7.14. Среднее арифметическое

Как мы уже говорили, закон распределения или плотность распределения несёт полную информацию о случайной величине.

На практике довольно часто требуется сравнить две случайные величины. Довольно полно это можно сделать, если сопоставить графики их законов или плотностей распределения.

Но в большинстве случаев желательно, чтобы итог сравнения выражался количественно, т.е. числом, а не просто общим впечатлением от вида графиков.

Поэтому хотелось бы иметь числовые характеристики, которые бы описывали существенные черты закона распределения или плотности распределения, причём любого вида.

Наиболее простыми и одновременно самыми важными, а поэтому самыми часто употребительными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание (среднее) и дисперсия (рассеяние).

Кроме них существуют и другие, но они применяются реже, и мы их рассматривать не будем.

Математическое ожидание случайной величины Х является вероятностным обобщением хорошо известного всем со школы понятия среднего арифметического, которое, кстати, применяется в статистике.

Со среднего арифметического и начнём. Выразим его с помощью более общей формулы, которая позволит вычислять математическое ожидание.

Вначале рассмотрим дискретную случайную величину Х с N возможными значениями. (У кубика – 6 возможных значений.)

Пусть с этой случайной величиной проделано n одинаковых опытов («эн» маленькое). Например, кубик бросался 100 раз.

При этом случайная величина Х (икс большое)

значение приняла раз, т.е. – ,

значение приняла раз, т.е. – ,

и так далее …,

значение приняла раз, т.е. – .

Общее количество появления всех значений равно n, т.е.

Найдём среднее арифметическое случайной величины Х по n опытам.

Среднее арифметическое – это, как известно, сумма всех значений, делённая на их количество:

.

Преобразуем это выражение, учтя повторяемость значений:

Теперь для сокращения длины формулы воспользуемся специальным знаком суммы, который мы уже рассматривали,

Дробь в каждом слагаемом – это вычисленная по n опытам частота события, состоящего в том, что случайная величиной Х примет значение . Мы её обозначали так: .

В итоге получаем:

Так, введя некоторые обозначения, мы преобразовали выражение для среднего арифметического.

Из полученного выражения видно, что среднее арифметическое вычисляется как сумма значений случайной величины, взятых с множителями, в качестве которых выступают частоты .

7.15. Математическое ожидание дискретной случайной величины

В статистике, как только что было получено, среднее арифметическое по известным результатам n опытов вычисляется так

Начнём неограниченно увеличивать число опытов

n  

При этом частота каждого возможного значения случайной величины сходится к некоторому числу, называемому и являющемуся вероятностью этого значения

.

А выражение для среднего арифметического переходит в выражение, которое и соответствует математическому ожиданию дискретной случайной величины

В формуле для математического ожидания вместо частот стоят вероятности значений, а возле буквы M уже не пишется буквочка n.

N (большое) – это, по-прежнему, количество возможных значений.

– возможные значения дискретной случайной величины (их N штук).

– значения закона распределения дискретной случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех значений случайной величины на их вероятности.

Смысл математического ожидания: математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Т.е. тот же, что и у среднего арифметического.

В теории вероятностей математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется без проведения каких-либо опытов по известным значениям закона распределения. Поэтому другое его название – теоретическое среднее.

Вычислим математическое ожидание для какого-нибудь простого случая: например, для опыта с монетой.

«Орлу» мы ставили в соответствие 0, а «решке» – 1.

Закон распределения для монеты, мы помним, выглядит так:

Вычисляем математическое ожидание. У нас всего два возможных значения, следовательно, меняется от 1 до 2.

i=1 соответствует «орёл», т.е. 0, а i=2 – «решка», т.е. 1. Вероятности этих обоих значений одинаковы и равны 0.5.

M(X) = = P(x₁)  x₁ + P(x₂)  x₂ = 0.5  0 + 0.5  1 = 0.5

Получилось 0.5. Что это за число?

Это число лежит посередине между возможными значениями нашей случайной величины.

Теперь более сложный предмет.

Представим, что у нас игральный кубик, у которого грани закрашены двумя красками: четыре грани – в чёрный цвет, а оставшиеся две – в белый.

В 4 случаях из 6 у кубика будет выпадать чёрная грань, а в 2 случаях — белая.

Т аким образом, вероятность чёрного будет в 2/3, а белого – 1/3.

Чёрному цвету припишем значение 0; а белому – 1.

Вычислим математическое ожидание такого закона распределения.

M(X) = P(x₁)  x₁ + P(x₂)  x₂ = 2/3  0 + 1/3  1 = 1/3.

Видим, что, если получившееся значение отметить на горизонтальной оси, то оно окажется ближе к более высокому столбику. А если мы представим, что столбики сделаны из металла, то чем выше столбик, тем он тяжелее. В итоге, математическое ожидание будет расположено ближе к более тяжёлому столбику.

И сейчас пришло время познакомиться с одним важным свойством математического ожидания.

Представим такой опыт: на невесомой линейке в точках, равных значениям случайной величины, размещены гирьки с весами, пропорциональными вероятностям соответствующих значений.

Если теперь подвести под линейку опору в точке математического ожидания, то получившиеся качели или весы окажутся в равновесии.

Точка математического ожидания находится под центром тяжести таких весов.

Любопытно то, что даже если закон распределения будет сложнее, т.е. будет состоять из многих столбиков, картина будет той же.

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины соответствует абсциссе центра тяжести закона распределения. Абсцисса – это, кто забыл, координата на горизонтальной оси.

И ещё об одном понятии, которое будет использоваться в дальнейшем.

Операция усреднения – это суммирование каких-либо значений с множителями, равными их вероятностям.

Это, как раз, та математическая операция, которая используется при вычислении математического ожидания.